mais
est nul aux extrémités du grand axe ; on a donc à ces points
![{\displaystyle 0=r^{2}-2ar+{\frac {ah^{2}}{\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4cbcbbebe8ab21712edb23b70f744bca0721296)
La somme des deux valeurs de
dans cette équation est le grand axe de la section conique, et leur différence est le double de l’excentricité ; ainsi
est le demi-grand axe de l’orbite ou la distance moyenne de
à
et
est le rapport de l’excentricité au demi-grand axe. Soit
ce rapport ; on a, par le numéro précédent,
![{\displaystyle {\frac {\mu }{a}}={\frac {\mu ^{2}-l^{2}}{h^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c5411b0bd110fa25307bf1b1777659c8c879d1)
on aura donc
On connaîtra ainsi tous les éléments qui déterminent la nature de la section conique et sa position dans l’espace.
20. Les trois équations finies trouvées dans le numéro précédent entre
et
donnent
en fonction de
; ainsi, pour avoir ces coordonnées en fonction du temps, il suffit d’avoir le rayon vecteur
dans une fonction semblable, ce qui exige une nouvelle intégration. Pour cela, reprenons l’équation
![{\displaystyle 2\mu r-{\frac {\mu r^{2}}{a}}-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=h^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87641ad3f1be1835c4a45912b0a104d82ef2062)
on a, par le numéro précédent,
![{\displaystyle h^{2}={\frac {a}{\mu }}\left(\mu ^{2}-l^{2}\right)=a\mu \left(1-e^{2}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e80513b17f2b8e603f7723da4c8adf5d7b670351)
on aura donc
![{\displaystyle dt={\frac {rdr}{{\sqrt {\mu }}{\sqrt {2r-{\frac {r^{2}}{a}}-a\left(1-e^{2}\right)}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/804d030259f296a432a0a652c97fdd6ecc8c147d)
Pour intégrer cette équation, soit
on aura
![{\displaystyle dt={\frac {a^{\frac {3}{2}}du}{\sqrt {\mu }}}(1-e\cos u),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f07b2bf4fc3ae82be29c2ffd6b88914515247e0)