Nous verrons ci-après que la détermination des mouvements célestes dépend presque toujours d’équations différentielles de la forme
étant une fonction rationnelle et entière de de sinus et de cosinus d’angles croissant proportionnellement au temps représenté par Voici le moyen le plus facile d’intégrer cette équation.
On supposera d’abord nul, et l’on aura, par le numéro précédent, une première valeur de
On substituera cette valeur dans qui deviendra ainsi une fonction rationnelle et entière de sinus et de cosinus d’angles proportionnels à En intégrant ensuite l’équation différentielle, on aura une seconde valeur de approchée jusqu’aux quantités de l’ordre inclusivement.
On substituera de nouveau cette valeur dans et, en intégrant l’équation différentielle, on aura une troisième valeur approchée de et ainsi de suite.
Cette manière d’intégrer par approximation les équations différentielles des mouvements célestes, quoique la plus simple de toutes, a cependant l’inconvénient de donner, dans les expressions des variables des arcs de cercle hors des signes sinus et cosinus, dans le cas même où ces arcs n’existent point dans les valeurs rigoureuses de ces variables ; on conçoit en effet que, si ces valeurs renferment des sinus ou des cosinus d’angles de l’ordre ces sinus ou cosinus doivent se présenter sous la forme de séries dans les valeurs approchées que l’on trouve par la méthode précédente, puisque ces dernières valeurs sont ordonnées par rapport aux puissances de Ce développement en séries des sinus et cosinus d’angles de l’ordre cet cesse d’être exact lorsque, par la suite des temps, l’arc cet devient considérable ; les valeurs approchées de ne peuvent donc point s’étendre à un temps illimité. Comme il importe d’avoir des valeurs qui embrassent les siècles passés et à venir, le retour des arcs de cercle, que renferment les valeurs approchées, aux fonctions qui les produisent par leur développement en
