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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

est de l’ordre $i'\,-\,i$, et qu’ainsi ces termes sont du même ordre que ceux de la longitude moyenne qui dépendent du même angle. Ceux-ci ayant pour diviseur le carré de $i'\,n'\,-\,i\,n$, on voit que l’on peut négliger à leur égard les termes correspondants de $\varepsilon$, lorsque $i'\,n'\,-\,i\,n$ est une très-petite quantité.

Si, dans les termes de l’expression de $d\varepsilon$ qui sont uniquement fonctions des éléments des orbites, on substitue, au lieu de ces éléments, les parties séculaires de leurs valeurs, il est clair qu’il en résultera des termes constants, et d’autres termes affectés des sinus et des cosinus des angles dont dépendent les variations séculaires des excentricités et des inclinaisons des orbites. Les termes constants produiront dans l’expression de $\varepsilon$ des termes proportionnels au temps et qui se confondront avec le moyen mouvement de $m$. Quant aux termes affectés de sinus et de cosinus, ils acquerront par l’intégration, dans l’expression de $\varepsilon$, de très-petits diviseurs du même ordre que les forces perturbatrices, en sorte que, ces termes étant à la fois multipliés et divisés par ces forces, ils pourront devenir sensibles, quoique de l’ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. Nous verrons, dans la théorie des planètes, que ces termes y sont insensibles ; mais ils sont très-sensibles dans la théorie de la Lune et des satellites de Jupiter, et c’est de ces termes que dépendent leurs équations séculaires.

On a vu, dans le n° 65, que le moyen mouvement de $m$ a pour expression ${\frac {3}{\mu }}\,\iint an\,dt\,\mathrm {dR}$, et que, si l’on n’a égard qu’à la première puissance des masses perturbatrices, $\mathrm {dR}$ ne renferme que des quantités périodiques. Mais, si l’on considère les carrés et les produits de ces masses, cette différentielle peut contenir des termes qui sont uniquement fonctions des éléments des orbites. En y substituant, au lieu de ces éléments, les parties séculaires de leurs valeurs, il en résultera des termes affectés des sinus et des cosinus des angles dont dépendent les variations séculaires des orbites. Ces termes acquerront par la double intégration, dans l’expression du moyen mouvement, de très-petits diviseurs, qui seront de l’ordre des carrés et des produits des masses