Si l’on substitue dans cette expression de au lieu de et leurs valeurs relatives au mouvement elliptique, valeurs qui sont fonctions de sinus et de cosinus des angles et de leurs multiples, sera exprimé par une suite infinie de cosinus de la forme
et étant des nombres entiers.
Il est visible que l’action des corps m,\ldots sur produira dans des termes analogues à ceux qui résultent de l’action de et que l’on obtiendra, en changeant dans l’expression précédente de tout ce qui est relatif à dans les mêmes quantités relatives à
Considérons un terme quelconque de l’expression de Si les orbites étaient circulaires et dans un même plan, on aurait ; donc ne peut surpasser ou en être surpassé qu’au moyen des sinus ou des cosinus des expressions de qui, en se combinant avec les sinus et les cosinus de l’angle et de ses multiples, produisent des sinus et des cosinus d’angles dans lesquels est différent de
Si l’on regarde les excentricités et les inclinaisons des orbites comme des quantités très-petites du premier ordre, il résulte des formules du no 22 que, dans les expressions de ou étant la tangente de la latitude de le coefficient du sinus ou du cosinus d’un angle tel que est exprimé par une série dont le premier terme est de l’ordre le second terme de l’ordre le troisième terme de l’ordre et ainsi de suite. Il en est de même du coefficient du sinus ou du cosinus de l’angle dans les expressions de Il suit de là que, et étant supposés positifs, et plus grand que le coefficient dans le terme est de l’ordre et que, dans la série qui l’exprime, le premier terme est de l’ordre , le second terme est de l’ordre et ainsi de suite, en sorte que cette série est fort convergente. Si était plus grand que les termes de la série seraient
