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34. Ces éléments sont donnés, par ce qui précède, en fonction de $\rho ,\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)$ et des quantités connues ; et, comme $\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)$ est donné en $\rho$ par le n^o 31, les éléments de l’orbite seront fonctions de $\rho$ et de quantités connues. Si l’un d’eux était donné, on aurait une nouvelle équation, au moyen de laquelle on pourrait déterminer $\rho$ ; cette équation aurait un diviseur commun avec l’équation (4) du n^o 31, et, en cherchant ce diviseur par les méthodes ordinaires, on parviendrait à une équation du premier degré en $\rho$ ; on aurait, de plus, une équation de condition entre les données des observations, et cette équation serait celle qui doit avoir lieu pour que l’élément donné puisse appartenir à l’orbite de la comète.

Appliquons maintenant cette considération à la nature. Pour cela, nous observerons que les orbites des comètes sont des ellipses très-allongées, qui se confondent sensiblement avec une parabole, dans la partie dans laquelle ces astres sont visibles ; on peut donc supposer sans erreur sensible $a=\infty ,$ et par conséquent ${\frac {1}{a}}=0\,;$ l’expression de ${\frac {1}{a}}$ du numéro précédent donnera ainsi

$0={\frac {2}{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}.$

Si l’on substitue ensuite, au lieu de $\left({\frac {dx}{dt}}\right),\left({\frac {dy}{dt}}\right)$ et $\left({\frac {dz}{dt}}\right),$ leurs valeurs trouvées dans le même numéro, on aura, après toutes les réductions et en négligeant le carré de ${\rm {{R}'-1,}}$

(5)

$\left\{{\begin{aligned}0&=\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)^{2}+\rho ^{2}\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}+\left[\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\operatorname {tang} \theta +{\frac {\rho \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}{\cos ^{2}a\theta }}\right]^{2}\\\\&+2\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\left[(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {A} -\alpha )-{\frac {\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]\\\\&+2\rho \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)\left[(\mathrm {R} '-1)\sin(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {\cos(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {2}{r}}\,;\end{aligned}}\right.$