Pour déterminer ces éléments par les observations, nous transformerons les coordonnées de chaque corps en d’autres dont l’origine soit à l’observateur. En supposant donc un plan passant par l’œil de l’observateur, et dont la situation soit toujours parallèle à elle-même, tandis que l’observateur se meut sur une courbe donnée, nous nommerons les distances de l’observateur aux différents corps, projetées sur ce plan ; les longitudes apparentes de ces corps, rapportées au même plan, et leurs latitudes apparentes. Les variables seront données en fonction de et des coordonnées de l’observateur. Pareillement, seront données en fonction de et des coordonnées de l’observateur, et ainsi de suite. D’ailleurs, si l’on suppose que les forces sont dues à l’action réciproque des corps du système et à des attractions étrangères, elles seront données en fonction de et de quantités connues ; les équations différentielles précédentes seront ainsi entre ces nouvelles variables et leurs premières et secondes différences. Or les observations font connaître, pour un instant donné, les valeurs de il ne restera donc d’inconnues que les valeurs de et leurs premières et secondes différences. Ces inconnues sont au nombre de et, comme on a équations différentielles, on pourra les déterminer. On aura même cet avantage, que les premières et secondes différences de ne se présenteront dans ces équations que sous une forme linéaire.
Les quantités et leurs premières différences divisées par étant connues, on aura, pour un instant donné, les valeurs de et de leurs premières différences divisées par Si l’on substitue ces valeurs dans les intégrales finies des équations précédentes et dans les différences premières de ces intégrales, on aura équations, au moyen desquelles on pourra déterminer les arbitraires de ces intégrales, ou les éléments des orbites des différents corps.
