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Dans le cas des orbites fort excentriques, $e$ diffère très-peu de l’unité ; nous supposerons ainsi $1-e=\alpha ,\ \alpha$ étant fort petit. Si l’on nomme ${\rm {D}}$ la distance périhélie de la comète, on aura $\mathrm {D} =a(1-e)=\alpha a$ ; l’expression de $r$ deviendra donc

$r={\frac {(2-\alpha )\mathrm {D} }{2\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v-\alpha \cos v}}={\frac {\mathrm {D} }{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v\left(1+{\frac {\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)}},$

ce qui donne, en réduisant en série,

$r={\frac {\mathrm {D} }{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v}}\left[1-{\frac {\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v+\left({\frac {\alpha }{2-\alpha }}\right)^{2}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v-\ldots \right].$

Pour avoir le rapport de $v$ au temps $t,$ nous observerons que l’expression de l’arc par la tangente donne

$u=2\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\left(1-{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}u+{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}u-\ldots \right)\,;$

or on a

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u={\sqrt {\frac {\alpha }{2-\alpha }}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\,;$

on aura donc

$u=2{\sqrt {\frac {\alpha }{2-\alpha }}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v$

$\times \left[1-{\frac {1}{3}}{\frac {\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v+{\frac {1}{5}}\left({\frac {\alpha }{2-\alpha }}\right)^{2}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v-\ldots \right]\,;$

on a ensuite

$\sin u={\frac {2\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}u}}=2\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u\left[1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}u+\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}u-\ldots \right].$

d’où l’on tire

$e\sin u=2(1-\alpha ){\sqrt {\frac {\alpha }{2-\alpha }}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v$

$\times \left[1-{\frac {\alpha }{2-\alpha }}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v+\left({\frac {\alpha }{2-\alpha }}\right)^{2}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v-\ldots \right].$

En substituant ces valeurs de $u$ et de $e\sin u$ dans l’équation

$nt=u-e\sin u,$

on aura le temps $t$ en fonction de l’anomalie $v,$ par une suite très-con-