En continuant ainsi, on aura la valeur de
pour un nombre quelconque de variables.
Quoique nous ayons supposé
fonctions de
sans
, on peut cependant supposer qu’elles renferment ces dernières variables ; mais alors, en y désignant ces variables par
il faudra supposer
constants dans les différentiations, et restituer après ces opérations
au lieu de
22. Appliquons ces résultats au mouvement elliptique des planètes. Pour cela, nous reprendrons les équations (f) du no 20. Si l’on compare l’équation
![{\displaystyle nt=u-e\sin u,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dfe22bfbe2c2287324b36b90f69e59d8a94fab9)
ou
![{\displaystyle \quad u=nt+e\sin u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69aa55a03cbccd6be5e09ed1e1c24540dd18bcc5)
avec celle-ci
![{\displaystyle x=\varphi (t+\alpha z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61e35c3921b6748fce6b5c30c26c4d1b1ee591cf)
se changera en
en
en
en
et
en
la formule [p] du numéro précédent deviendra donc
(q)
![{\displaystyle \quad \psi (u)=\psi (nt)+e\psi '(nt)\sin nt+{\frac {e^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[\psi '(nt)\sin ^{2}nt\right]}{ndt}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df967aea8279149a42790b35b0275a1f877bb23)
![{\displaystyle +{\frac {e^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{2}\left[\psi '(nt)\sin ^{3}nt\right]}{n^{2}dt^{2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f8e41ef1d91e477171d7400e57af11c82582bc9)
étant égal à
Pour développer cette formule, nous observerons que,
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on a
![{\displaystyle \sin ^{i}nt=\left({\frac {c^{nt{\sqrt {-1}}}-c^{-nt{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\right)^{i},\qquad \cos ^{i}nt=\left({\frac {c^{nt{\sqrt {-1}}}+c^{-nt{\sqrt {-1}}}}{2}}\right)^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b6d9b5ce2b68169f3905f68cae51b98692b786)
étant quelconque. En développant les seconds membres de ces équations et en substituant ensuite, au lieu de
et de
leurs valeurs
et
étant quelconque, on aura les puissances
de
et de
développées en