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En continuant ainsi, on aura la valeur de $q_{n,n',n'',\ldots }$ pour un nombre quelconque de variables.

Quoique nous ayons supposé $u,z,z',z'',\ldots$ fonctions de $x,x',x'',\ldots ,$ sans $t,t',t'',\ldots$, on peut cependant supposer qu’elles renferment ces dernières variables ; mais alors, en y désignant ces variables par $t_{1},t_{1}',t_{1}'',\ldots ,$ il faudra supposer $t_{1},t_{1}',t_{1}'',\ldots ,$ constants dans les différentiations, et restituer après ces opérations $t,t',\ldots ,$ au lieu de $t_{1},t_{1}',\ldots .$

22. Appliquons ces résultats au mouvement elliptique des planètes. Pour cela, nous reprendrons les équations (f) du n^o 20. Si l’on compare l’équation

$nt=u-e\sin u,\quad$ou$\quad u=nt+e\sin u$

avec celle-ci

$x=\varphi (t+\alpha z).$

$x$ se changera en $u,\ t$ en $nt,\ \alpha$ en $e,\ z$ en $\sin u,$ et $\varphi (t+\alpha z)$ en $nt+e\sin u\,;$ la formule [p] du numéro précédent deviendra donc

(q)$\quad \psi (u)=\psi (nt)+e\psi '(nt)\sin nt+{\frac {e^{2}}{1.2}}{\frac {d\left[\psi '(nt)\sin ^{2}nt\right]}{ndt}}+$

$+{\frac {e^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{2}\left[\psi '(nt)\sin ^{3}nt\right]}{n^{2}dt^{2}}}+\ldots ,$

$\psi '(nt)$ étant égal à ${\frac {d\psi (nt)}{ndt}}.$ Pour développer cette formule, nous observerons que, $c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on a

$\sin ^{i}nt=\left({\frac {c^{nt{\sqrt {-1}}}-c^{-nt{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\right)^{i},\qquad \cos ^{i}nt=\left({\frac {c^{nt{\sqrt {-1}}}+c^{-nt{\sqrt {-1}}}}{2}}\right)^{i},$

$i$ étant quelconque. En développant les seconds membres de ces équations et en substituant ensuite, au lieu de $c^{rnt{\sqrt {-1}}}$ et de $c^{-rnt{\sqrt {-1}}},$ leurs valeurs $\cos rnt+{\sqrt {-1}}\sin rnt$ et $\cos rnt-{\sqrt {-1}}\sin rnt,\ r$ étant quelconque, on aura les puissances $i$ de $\sin nt$ et de $\cos nt$ développées en