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de $m,$ nous nommerons $v$ l’angle que la projection de ce rayon sur le plan des $x$ et des $y$ fait avec l’axe des $x$, et $\theta$ l’inclinaison de $r$ sur le même plan ; on aura

${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \cos v,\\y&=r\cos \theta \sin v,\\z&=r\sin \theta .\end{aligned}}$

L’équation (E) rapportée à ces nouvelles variables sera, par le n^o 11,

(F)

$0=r^{2}{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial r^{2}}}+2r{\frac {\partial Q}{\partial r}}+{\frac {\frac {\partial ^{2}Q}{\partial v^{2}}}{\cos ^{2}\theta }}+{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial \theta ^{2}}}-{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}{\frac {\partial Q}{\partial \theta }}.$

Si l’on multiplie la première des équations (i) par $\cos \theta \cos v,$ la seconde par $\cos \theta \sin v,$ la troisième par $\sin \theta ,$ et si, pour abréger, on fait

$\mathrm {M} '={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rdv^{2}}{dt^{2}}}\cos ^{2}\theta -{\frac {rd^{2}\theta }{dt^{2}}},$

on aura, en les ajoutant,

$\mathrm {M'} ={\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}.$

Pareillement, si l’on multiplie la première des équations (i) par $-r\cos \theta \sin \theta ,$ la seconde par $r\cos \theta \cos v,$ et qu’ensuite on les ajoute, et que l’on suppose

$\mathrm {N} '={\frac {d\left(r^{2}{\frac {dv}{dt}}\cos ^{2}\theta \right)}{dt}},$

on aura

$\mathrm {N'} ={\frac {\partial Q}{\partial v}}.$

Enfin, si l’on multiplie la première des équations (1) par $-r\sin \theta \cos v,$ la seconde par $-r\sin \theta \sin v,$ qu’on les ajoute à la troisième, multipliée par $r\cos \theta ,$ et que l’on fasse

$\mathrm {P} '=r^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+r^{2}{\frac {rdv^{2}}{dt^{2}}}\sin \theta \cos \theta +{\frac {2rdrd\theta }{dt^{2}}},$