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et, en intégrant.

$0={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}+2\int (\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy)$

la constante arbitraire étant indiquée par le signe intégral. En substituant, au lieu de $dt,$ sa valeur ${\frac {xdy-ydx}{c}},$ donnée par la loi de la proportionnalité des aires aux temps, on aura

${\frac {c^{2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}{(xdy-ydx)^{2}}}+2\int (\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy).$

Transformons, pour plus de simplicité, les coordonnées $x$ et $y$ en rayon vecteur et en angle traversé, conformément aux usages astronomiques. Soit $r$ le rayon mené du centre du Soleil à celui de la planète, ou son rayon vecteur ; soit $v$ l’angle qu’il forme avec l’axe des $x\,;$ on aura

$x=r\cos v,\qquad y=r\sin v,\qquad r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

d’où l’on tire

Si l’on désigne ensuite par $\varphi$ la force principale qui anime la planète, on aura, par le numéro précédent,

$\mathrm {P} =\varphi \cos v,\qquad \mathrm {Q} =\varphi \sin v,\qquad \varphi ={\sqrt {\mathrm {P^{2}+Q^{2}} }},$

ce qui donne

$\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy=\varphi dr\,;$

on aura donc

$0={\frac {c^{2}\left(r^{2}dv^{2}+dr^{2}\right)}{r^{4}dv^{2}}}+2\int \varphi dr,$

d’où l’on tire

(3)

$dv={\frac {cdr}{r{\sqrt {-c^{2}-2r^{2}\int \varphi dr}}}}$

Cette équation donnera, au moyen des quadratures, la valeur de $v$ en $r,$ lorsque la force $\varphi$ sera connue en fonction de $r$ ; mais si, cette force