Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/158

$n^{2}r\sin ^{2}\theta \delta \left[s'-(s')\right]$ puissent être négligées dans l’équation précédente.

À la surface de la mer, on a $\varphi =y,\ \alpha y$ étant l’élévation de la surface de la mer au-dessus de sa surface de niveau. Examinons si les suppositions de $\varphi$ égal à $y,$ et de $y$ constant pour toutes les molécules d’air situées sur le même rayon, peuvent subsister avec l’équation de la continuité de fluide. Cette équation, par le n^o 35, est

$0=r^{2}\left[\rho '+(\rho )\left({\frac {\partial u'}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}+{\frac {u'\cos \theta }{\sin \theta }}\right)\right]+(\rho ){\frac {\partial .r^{2}s'}{\partial r}},$

d’où l’on tire

$y=-l\left({\frac {\partial .r^{2}s'}{r^{2}\partial r}}+{\frac {\partial u'}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}+{\frac {u'\cos \theta }{\sin \theta }}\right).$

$r+\alpha s'$ est égal à la valeur de $r$ de la surface de niveau, qui correspond aux angles $\theta +\alpha u$ et $\varpi +\alpha v,$ plus à l’élévation de la molécule d’air au-dessus de cette surface ; la partie de $\alpha s'$ qui dépend de la variation des angles $\theta$ et $\varpi$ étant de l’ordre ${\frac {\alpha n^{2}u}{g}},$ on peut la négliger dans l’expression précédente de $y',$ et, par conséquent, supposer dans cette expression $s'=\varphi \,;$ si l’on fait ensuite $\varphi =y,$ on aura ${\frac {\partial \varphi }{\partial r}}=0,$ puisque la valeur de $\varphi$ est alors la même relativement à toutes les molécules situées sur le même rayon. De plus, $y$ est, par ce qui précède, de l’ordre $l$ ou ${\frac {n^{2}}{g}}\,;$ l’expression de $y'$ deviendra ainsi

$y=-l\left({\frac {\partial u'}{\partial \theta }}+{\frac {\partial v'}{\partial \varpi }}+{\frac {u'\cos \theta }{\sin \theta }}\right)\,;$

ainsi, $u'$ et $v'$ étant les mêmes pour toutes les molécules situées primitivement sur le même rayon, la valeur de $y'$ sera la même pour toutes ces molécules. De plus, il est visible, par ce que nous venons de dire, que les quantités $2nr\delta \varpi \sin ^{2}\theta {\frac {\partial s'}{\partial t}}$ et $n^{2}r\sin ^{2}\theta \delta \left[s'-(s')\right]$ peuvent être