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31. Appliquons cette méthode au mouvement des comètes. Pour cela, nous observerons que la force principale qui les anime est l’attraction du Soleil ; nous pouvons ainsi faire abstraction de toute autre force. Cependant, &i la comète passait assez près d’une grosse planète pour en éprouver un dérangement sensible, la méthode précédente ferait connaître encore sa vitesse et sa distance à la Terre ; mais, ce cas étant excessivement rare, nous n’aurons égard, dans les recherches suivantes, qu’à l’action du Soleil.

Si l’on prend pour unité de masse celle du Soleil, et pour unité de distance sa moyenne distance à la Terre ; si, de plus, on fixe au centre du Soleil l’origine des coordonnées $x,y,z$ d’une comète, dont nous nommerons $r$ le rayon vecteur, les équations différentielles (O) du n^o 17 deviendront, en négligeant la masse de la comète vis-à-vis de celle du Soleil,

$\left\{{\begin{aligned}0&={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{r^{3}}},\\\\0&={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{r^{3}}},\\\\0&={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {z}{r^{3}}}\,;\end{aligned}}\right.$

Supposons que le plan des $x$ et des $y$ soit le plan même de l’écliptique ; que l’axe des $x$ soit la ligne menée du centre du Soleil au premier point d’Ariès, à une époque donnée ; que l’axe des $y$ soit la ligne menée du centre du Soleil au premier point du Cancer, à la même époque ; enfin, que les $z$ positifs soient du même côté que le pôle boréal de l’écliptique. Nommons ensuite $x'$ et $y'$ les coordonnées de la Terre, et ${\rm {R}}$ son rayon vecteur. Cela posé :

Transformons les coordonnées $x,y,z$ en d’autres relatives à l’observateur, et, pour cela, nommons $\alpha$ la longitude géocentrique de la comète, $\theta$ sa latitude géocentrique, et $\rho$ sa distance au centre de la Terre, projetée sur l’écliptique ; nous aurons

$x=x'+\rho \cos \alpha ,\qquad y=y'+\rho \sin \alpha ,\qquad z=\rho \operatorname {tang} \theta .$