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PREMIÈRE PARTIE. – LIVRE I.

centre sont les plus denses, la fonction ${\frac {\int \rho \mathrm {R} ^{4}d\mathrm {R} }{\int \rho \mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} }}$ sera moindre que ${\frac {3}{5}}{\rm {R^{2}}}$ ; la valeur de $f$ sera donc moindre que dans le cas de l’homogénéité.

30. Déterminons présentement les oscillations du corps, dans le cas où il tourne à très-peu près autour du troisième axe principal. On pourrait les déduire des intégrales auxquelles nous sommes parvenus dans le numéro précédent ; mais il est plus simple de les tirer directement des équations différentielles (D) du n^o 26. Le corps n’étant sollicité par aucune force, ces équations deviennent, en y substituant au lieu de $p,q,r'$ leurs valeurs $\mathrm {C} p,\mathrm {A} q$ et $\mathrm {B} r,$

$dp+{\rm {\frac {B-A}{C}}}qrdt=0,\quad dq+{\rm {\frac {C-B}{A}}}rpdt=0,\quad dr+{\rm {\frac {A-C}{B}}}pqdt=0.$

Le solide étant supposé tourner à fort peu près autour de son troisième axe principal, $q$ et $r$ sont de très-petites quantités, dont nous négligerons les carrés et les produits ; ce qui donne $dp=0,$ et par conséquent $p$ constant. Si dans les deux autres équations on suppose

$q=\mathrm {M} \sin(nt+\gamma ),\qquad r=\mathrm {M} '\cos(nt+\gamma ),$

on aura

$n=p{\rm {{\sqrt {\frac {(C-A)(C-B)}{AB}}},\qquad M'=-M{\sqrt {\frac {A(C-A)}{B(C-B)}}},}}$

${\rm {M}}$ et $\gamma$ étant deux constantes arbitraires. La vitesse angulaire de rotation sera ${\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}},$ ou simplement $p,$ en négligeant les carrés de $q$ et de $r$ ; cette vitesse sera donc à très-peu près constante. Enfin le sinus de l’angle formé par l’axe réel de rotation et par le troisième axe principal sera ${\frac {\sqrt {q^{2}+r^{2}}}{p}}.$

Si à l’origine du mouvement on a $q=0$ et $r=0,$ c’est-à-dire si l’axe réel de rotation coïncide à cet instant avec le troisième axe principal, on aura $\mathrm {M=0,M'} =0\,;\ q$ et $r$ seront donc toujours nuls, et l’axe de rotation coïncidera toujours avec le troisième axe principal ; d’où il suit que, si le corps commence à tourner autour d’un des axes principaux,