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On a ensuite

$d\zeta =ndt,\qquad d\zeta '=n'dt,\qquad d\zeta ''=n''dt\,;$

partant,

${\frac {d^{2}\zeta }{dt}}=-{\frac {3}{2}}n^{\frac {1}{3}}{\frac {da}{a^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}\zeta '}{dt}}=-{\frac {3}{2}}n'^{\frac {1}{3}}{\frac {da'}{a'^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}\zeta ''}{dt}}=-{\frac {3}{2}}n''^{\frac {1}{3}}{\frac {da''}{a''^{2}}}.$

On a vu dans le n^o 61 que, si l’on n’a égard qu’aux inégalités qui ont de très-longues périodes, on a

const.$={\frac {m}{a}}+{\frac {m'}{a'}}+{\frac {m''}{a''}},$

ce qui donne

$0=m{\frac {da}{a^{2}}}+m'{\frac {da'}{a'^{2}}}+m''{\frac {da''}{a''^{2}}}.$

On a vu dans le même numéro que, si l’on néglige les carrés des excentricités et des inclinaisons des orbites, on a

const.$=m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}+m''{\sqrt {a''}},$

ce qui donne

$0=m{\frac {da}{\sqrt {a}}}+m'{\frac {da'}{\sqrt {a'}}}+m''{\frac {da''}{\sqrt {a''}}}.$

De ces diverses équations il est aisé de conclure

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\zeta }{dt}}&=-{\frac {3}{2}}n^{\frac {1}{3}}{\frac {da}{a^{2}}},\\\\{\frac {d^{2}\zeta '}{dt}}&={\frac {3}{2}}{\frac {mn'^{\frac {1}{3}}}{m'n}}{\frac {n-n''}{n'-n''}}{\frac {da}{a^{2}}},\\\\{\frac {d^{2}\zeta ''}{dt}}&=-{\frac {3}{2}}{\frac {mn''^{\frac {1}{3}}}{m''n}}{\frac {n-n'}{n'-n''}}{\frac {da}{a^{2}}}.\end{aligned}}$

Enfin l’équation ${\frac {\mu }{a}}=2\int d{\rm {R}}$ du n^o 64 donne

$-{\frac {da}{a^{2}}}=2d{\rm {R}}.$

Il ne s’agit donc plus que de déterminer d{\rm R}.