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déjà fort approchée, beaucoup plus exacte encore. En effet, ces divers corps peuvent être considérés comme étant formés de couches à très-peu près sphériques, d’une densité variable suivant une loi quelconque, et nous allons faire voir que l’action d’une couche sphérique sur un corps qui lui est extérieur est la même que si sa masse était réunie à son centre. Pour cela, nous allons établir sur les attractions des sphéroïdes quelques propositions générales qui nous seront très-utiles dans la suite.

11. Soient $x,y,z$ les trois coordonnées du point attiré, que nous désignerons par $m$ soient $d{\rm {M}}$ une molécule du sphéroïde, et $x',y',z'$ les coordonnées de cette molécule ; si l’on nomme $\rho$ sa densité, $\rho$ étant une fonction de $x',y',z'$ indépendante de $x,y,z,$ on aura

$d{\rm {{M}=\rho dx'dy'dz'.}}$

L’action de $d{\rm {M}}$ sur $m$, décomposée parallèlement à l’axe des $x$ et dirigée vers leur origine, sera

${\frac {\rho dx'dy'dz'(x-x')}{\left[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}},$

et par conséquent elle sera égale à

$-{\frac {\partial .{\frac {\rho dx'dy'dz'}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}}{\partial x}}\,;$

en nommant donc ${\rm {V}}$ l’intégrale

$\int {\frac {\rho dx'dy'dz'}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}},$

étendue à la masse entière du sphéroïde, on aura $-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}$ pour l’action totale du sphéroïde sur le point $m,$ décomposée parallèlement à l’axe des $x$ et dirigée vers leur origine.

${\rm {V}}$ est la somme des molécules du sphéroïde divisées par leurs distances respectives au point attiré ; pour avoir l’attraction du sphéroïde