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d’où l’on tire, en intégrant,

(S)

$t+\mathrm {T} ={\frac {a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mu }}}(u-e\sin u),$

${\rm {T}}$ étant une constante arbitraire. Cette équation donne $u,$ et par conséquent $r$ en fonction de $t$ ; et comme $x,y,z$ sont donnés en fonction de $r,$ on aura les valeurs de ces coordonnées pour un instant quelconque.

Nous voilà donc parvenus à intégrer complètement les équations différentielles (O) du n^o 17, ce qui a introduit les six arbitraires $a,e,\mathrm {I} ,\theta ,\varphi$ et ${\rm {T}}$ : les deux premières dépendent de la nature de l’orbite, les trois suivantes dépendent de sa position dans l’espace, et la dernière est relative à la position du corps $m$ à une époque donnée, ou, ce qui revient au même, elle dépend de l’instant de son passage au périhélie.

Rapportons les coordonnées du corps $m$ à des coordonnées plus commodes pour les usages astronomiques, et pour cela nommons $v$ l’angle que le rayon vecteur $r$ fait avec le grand axe, en partant du périhélie ; l’équation à l’ellipse sera

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}}.$

L’équation $r=a(1-e\cos u)$ du numéro précédent indique que $u$ est nul au périhélie, en sorte que ce point est l’origine des deux angles $u$ et $v,$ et il est facile de s’assurer que l’angle $u$ est formé par le grand axe de l’orbite et par le rayon mené de son centre au point où la circonférence décrite sur le grand axe comme diamètre est rencontrée par l’ordonnée menée du corps $m$ perpendiculairement sur le grand axe. Cet angle est ce que l’on nomme anomalie excentrique, et l’angle $v$ est l’anomalie vraie. En comparant les deux expressions de $r,$ on a

$1-e\cos v={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}},$

d’où l’on tire

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u.$