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d’augmenter de la quantité ${\frac {3a}{\mu }}\int ndt\int d{\rm {R}}$ la longitude moyenne $nt+\varepsilon$ de cette expression relative au mouvement elliptique.

Voyons comment on doit avoir égard à cette partie des perturbations, dans l’expression de la longitude $v.$ La formule (Y) du n^o 46 donne, en y substituant ${\frac {3a}{\mu }}{\frac {dr}{ndt}}\int ndt\int d{\rm {R}}$ au lieu de $\delta r,$ et en n’ayant égard qu’aux termes divisés par $\alpha ^{2},$

$\delta v={\frac {{\frac {2rd^{2}r+dr^{2}}{a^{2}n^{2}dt^{2}}}+1}{\sqrt {1-e^{2}}}}{\frac {3a}{\mu }}\int ndt\int d{\rm {R}}\,;$

or on a, par ce qui précède,

$dr={\frac {aendt\sin v}{\sqrt {1-e^{2}}}},\qquad r^{2}dv=a^{2}ndt{\sqrt {1-e^{2}}},$

d’où il est facile de conclure, en substituant pour $\cos v$ sa valeur précédente en $r,$

${\frac {{\frac {2rd^{2}r+dr^{2}}{a^{2}n^{2}dt^{2}}}+1}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {dv}{ndt}}\,;$

en n’ayant donc égard qu’à la partie des perturbations qui a pour diviseur $\alpha ^{2},$ la longitude $v$ deviendra

$(v)+\left({\frac {dv}{ndt}}\right){\frac {3a}{\mu }}\int ndt\int d{\rm {R}},$

$(v)$ et $\left({\frac {dv}{ndt}}\right)$ étant les parties de $v$ et de ${\frac {dv}{ndt}}$ relatives au mouvement elliptique. Ainsi, pour avoir égard à cette partie des perturbations dans l’expression de la longitude de $m,$ on doit suivre la même règle que nous venons de donner pour y avoir égard dans l’expression du rayon vecteur ; c’est-à-dire qu’il faut augmenter, dans l’expression elliptique de la longitude vraie, la longitude moyenne $nt+\varepsilon$ de la quantité ${\frac {3a}{\mu }}\int ndt\int d{\rm {R}}.$