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l’équation différentielle en $z$ par

$2mdz-2m{\frac {\Sigma mdz}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\,;$

si l’on multiplie pareillement l’équation différentielle en $x'$ par

$2m'dx'-2m'{\frac {\Sigma mdx}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$

l’équation différentielle en $y'$ par

$2m'dy'-2m'{\frac {\Sigma mdy}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$

l’équation différentielle en $z'$ par

$2m'dz'-2m'{\frac {\Sigma mdz}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$

et ainsi du reste ; si l’on ajoute ensuite ces diverses équations, en observant que

$0=\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\qquad 0=\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\qquad 0=\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial z}},$

on aura

$0=2\Sigma m{\frac {dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {2\Sigma mdx}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma {\frac {md^{2}x}{dt^{2}}}$

$-{\frac {2\Sigma mdy}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma {\frac {md^{2}y}{dt^{2}}}-{\frac {2\Sigma mdz}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma {\frac {md^{2}z}{dt^{2}}}+2\mathrm {M} \Sigma {\frac {mdr}{r^{2}}}-2d\lambda ,$

ce qui donne, en intégrant,

$\mathrm {const} .=\Sigma m{\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}{dt^{2}}-{\frac {(\Sigma mdx)^{2}+(\Sigma mdy)^{2}+(\Sigma mdz)^{2}}{(\mathrm {M} +\Sigma m)dt^{2}}}$

$-2\mathrm {M} \Sigma {\frac {m}{r}}-2d\lambda ,$

ou

(7)$\left\{{\begin{aligned}h=&M\Sigma m{\frac {d^{2}x+d^{2}y+d^{2}z}{dt^{2}}}{dt^{2}}\\\\&\qquad \qquad +\Sigma mm'{\frac {(dx'-dx)^{2}+(dy'-dy)^{2}+(dz'-dz)^{2}}{dt^{2}}}\\\\&\qquad \qquad -\left(2\mathrm {M} \Sigma {\frac {m}{r}}+2d\lambda \right)(\mathrm {M} +\Sigma m).\end{aligned}}\right.$

$h$ étant une constante arbitraire. Nous sommes déjà parvenus à ces diverses intégrales, dans le Chapitre V du premier Livre, relativement