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stituant pour ${\frac {\mu }{a}}$ l’intégrale $2\int d{\rm {R}},$

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2({\rm {M}}+m)}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-2\int d{\rm {R}}.$

Si l’on nomme ensuite ${\rm {R'}}$ ce que devient ${\rm {R}}$ lorsque l’on considère l’action de $m$ sur $m',$ on aura

${\rm {R}}'={\frac {m(xx'+yy'+zz')}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {m}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}},$

${\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}}={\frac {2({\rm {M}}+m')}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}}-2\int d'{\rm {R'}},$

la caractéristique différentielle $d'$ ne se rapportant qu’aux coordonnées $x',y',z'$ du corps $m'$. En substituant, au lieu de ${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}$ et de ${\frac {dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}}{dt^{2}}}$ ces valeurs dans l’équation (a), on aura

$m\int d{\rm {R}}+m'\int d'{\rm {R'}}=$

$\mathrm {const} .-{\frac {(mdx+m'dx')^{2}+(mdy+m'dy')^{2}+(mdz+m'dz')^{2}}{2({\rm {M}}+m+m')dt^{2}}}$

$+{\frac {m^{2}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}+{\frac {m'^{2}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}}}-{\frac {mm'}{\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}}.$

Il est visible que le second membre de cette équation ne renferme point de termes de l’ordre des carrés et des produits des masses $m$ et $m',$ qui aient pour diviseur $i'n'-in\,;$ en n’ayant donc égard qu’à ces termes, on aura

$m\int d{\rm {R}}+m'\int d'{\rm {R}}'=0\,;$

ainsi, en ne considérant que les termes qui ont pour diviseur $(i'n'-in)^{2}$, on aura

${\frac {3\iint a'n'dtd'{\rm {R}}'}{{\rm {M}}+m'}}=-{\frac {m(M+m)a'n'}{m'(M+m')an}}{\frac {3\iint andtd{\rm {R}}}{{\rm {M}}+m}}\,;$

or on a

$\zeta ={\frac {3\iint andtd{\rm {R}}}{{\rm {M}}+m}},\qquad \zeta '={\frac {3\iint a'n'dtd'{\rm {R'}}}{{\rm {M}}+m'}}\,;$