Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/348

La considération de l’expression de ${\frac {dv}{dt}}$ nous ayant suffi pour déterminer les valeurs de $n,a,h,l$ et $\varepsilon$, on voit a priori que les équations différentielles entre les mêmes quantités, qui résultent de l’expression de $r,$ doivent coïncider avec les précédentes. C’est ce dont il est facile de s’assurer a posteriori, en appliquant à cette expression la méthode du n^o 43.

Considérons maintenant l’expression de $s.$ En la comparant à celle de $y$ du numéro cité, on aura

${\begin{aligned}{\rm {X}}&=q\sin(nt+\varepsilon )-p\cos(nt+\varepsilon )+m'\chi ,\\{\rm {Y}}&={\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(p-p')\sin(nt+\varepsilon )+{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(q-q')\cos(nt+\varepsilon ).\end{aligned}}$

$n$ et $\varepsilon$ étant constants, par ce qui précède, on aura, par le n^o 43,

${\begin{aligned}{\rm {X}}'&={\frac {dq}{d\theta }}\sin(nt+\varepsilon )-{\frac {dp}{d\theta }}\cos(nt+\varepsilon ),\\{\rm {X}}''&=0.\end{aligned}}$

L’équation $0={\rm {X'+\theta X''-Y}}$ devient ainsi

${\begin{aligned}&0={\frac {dq}{d\theta }}\sin(nt+\varepsilon )-{\frac {dp}{d\theta }}\cos(nt+\varepsilon )\\&-{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(p-p')\sin(nt+\varepsilon )-{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(q-q')\cos(nt+\varepsilon )\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en comparant les coefficients des sinus et des cosinus semblables, et en changeant $\theta$ en $t,$ pour avoir directement $p$ et $q$ en fonctions de t,

(3)

${\frac {dp}{dt}}=-{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(q-q'),$

(4)

${\frac {dq}{dt}}={\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(p-p').$