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Reprenons l’équation (R) du numéro précédent, en y faisant, pour abréger,

${\rm {Q}}=2\int d{\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\,;$

elle devient ainsi

(R')

$0={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mu }{r}}+{\frac {\mu }{a}}+{\rm {{Q}.}}$

Dans le cas du mouvement elliptique, où $\mathrm {Q} =0,\ r^{2}$ est, par le n^o 22, fonction de $e\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),\ ae$ étant l’excentricité de l’orbite et $nt+\varepsilon -\varpi$ étant l’anomalie moyenne de la planète $m.$ Soit $e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )=u,$ et supposons $r^{2}=\varphi (u)\,;$ on aura

$0={\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u.$

Dans le cas du mouvement troublé, nous pouvons supposer encore $ir^{2}=\varphi (u)\,;$ mais $u$ ne sera plus égal à $e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\,;$ il sera donné par l’équation différentielle précédente augmentée d’un terme dépendant des forces perturbatrices. Pour déterminer ce terme, nous observerons que, si l’on fait $u=\psi \left(r^{2}\right),$ on aura

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u={\frac {d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}}\psi '\left(r^{2}\right)+{\frac {4r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}\psi ''\left(r^{2}\right)+n^{2}\psi \left(r^{2}\right),$

$\psi '\left(r^{2}\right)$ étant la différentielle de $\psi \left(r^{2}\right)$ divisée par $d.r^{2},$ et $\psi ''\left(r^{2}\right)$ étant la différentielle de $\psi '\left(r^{2}\right)$ divisée par $d.r^{2}.$ L’équation (R’) donne ${\frac {d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}}$ égal à une fonction de $r,$ plus à une fonction dépendante de la force perturbatrice. Si l’on multiplie cette équation par $2rdr,$ et qu’ensuite on l’intègre, on aura ${\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}$ égal à une fonction de $r,$ plus à une fonction dépendante de la force perturbatrice. En substituant ces valeurs de ${\frac {d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}}$ et de ${\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}$ dans l’expression précédente de ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u,$ la fonction de $r$ indépendante de la force perturbatrice disparaîtra d’elle-même, puisqu’elle est identiquement nulle lorsque cette force est nulle ; on