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Si l’on ajoute la première des équations (H), multipliée par $-\cos \theta ,$ à la troisième, multipliée par ${\frac {\sin \theta }{r}}$ on aura

$-{\frac {d^{2}{\frac {1}{u}}}{dt^{2}}}+{\frac {1}{u}}{\frac {dv^{2}}{dt^{2}}}=u^{2}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}+us{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}},$

d’où l’on tire

$d{\frac {du}{u^{2}dt}}+{\frac {1}{u}}{\frac {dv^{2}}{udt}}=u^{2}dt\left({\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}+{\frac {s}{u}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}\right).$

En substituant pour $dt$ sa valeur précédente et regardant $dv$ comme constant, on aura

$0={\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u+{\frac {{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {du}{u^{2}dv}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}-{\frac {s}{u}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}}{h^{2}+2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}}}.$

La troisième des équations (H) deviendra de la même manière, en y traitant $dv^{2}$ comme constant,

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+{\frac {{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}-\left(1+s^{2}\right){\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}-us{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}}{u^{2}\left(h^{2}+2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)}}.$

On aura donc, au lieu des trois équations différentielles (H), les suivantes

(K)

$\left\{{\begin{aligned}dt&={\frac {dv}{u^{2}{\sqrt {h^{2}+2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}}}}},\\\\0&={\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u+{\frac {{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {du}{u^{2}dv}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}-{\frac {s}{u}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}}{h^{2}+2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}}},\\\\0&={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+{\frac {{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}-us{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}-\left(1+s^{2}\right){\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}}{u^{2}\left(h^{2}+2\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)}}.\end{aligned}}\right.$

Si l’on veut éviter les fractions et les radicaux, on pourra donner à ces