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plan fixe, on aura, à très-peu près,

$s=q\sin(nt+\varepsilon )-p\cos(nt+\varepsilon )-{\frac {m'a^{2}a'}{4}}(p'-p){\rm {B}}^{i(1)}nt\sin(nt+\varepsilon )$

$-{\frac {m'a^{2}a'}{4}}(q'-q){\rm {B}}^{(1)}nt\cos(nt+\varepsilon )$

$-{\frac {m'n^{2}}{n^{2}-n'^{2}}}{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}\left[(q'-q)\sin(n't+\varepsilon ')-(p'-p)\cos(n't+\varepsilon ')\right]$

$+{\frac {m'n^{2}a^{2}a'}{2}}\Sigma \left\{{\begin{aligned}&{\frac {(q'-q){\rm {B}}^{(i-1)}}{n^{2}-\left[n-i(n-n')\right]^{2}}}\\&\qquad \qquad \times \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\\-&{\frac {(p'-p){\rm {B}}^{(i-1)}}{n^{2}-\left[n-i(n-n')\right]^{2}}}\\&\qquad \qquad \times \cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\end{aligned}}\right\}.$

52. Rassemblons présentement les formules que nous venons de trouver. Nommons $(r)$ et $(v)$ les parties du rayon vecteur et de la longitude $v$ sur l’orbite, qui dépendent du mouvement elliptique ; on aura

$r=(r)+\delta r,\qquad v=(v)+\delta v.$

La valeur précédente de $s$ sera la latitude de $m$ au-dessus du plan fixe ; mais il sera plus exact d’employer, au lieu de ses deux premiers termes, qui sont indépendants de $m',$ la valeur de la latitude qui aurait lieu dans le cas où $m$ ne quitterait point le plan de son orbite primitive. Ces expressions renferment toute la théorie des planètes, lorsque l’on néglige les carrés et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, ce qui est le plus souvent permis. Elles ont d’ailleurs l’avantage d’être sous une forme très-simple, qui laisse facilement apercevoir la loi de leurs différents termes.

Quelquefois on aura besoin de recourir aux termes dépendants des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons, et même des puissances et des produits supérieurs. On pourra déterminer ces termes par l’analyse précédente ; la considération qui les rend nécessaires facilitera toujours leur détermination. Les approximations dans lesquelles on y aurait égard introduiraient de nouveaux termes, qui dépendraient de nouveaux arguments. Elles reproduiraient encore les arguments que donnent les approximations précédentes, mais avec des coefficients de plus en plus petits, suivant cette loi, qu’il est aisé de con-