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quelconque $n$ d’équations différentielles linéaires de l’ordre $i,$ et qui renferment des termes quelconques ${\rm {\alpha Q,\alpha Q',\ldots }}$ fonctions de la seule variable $t$, lorsque l’on sait intégrer les mêmes équations dans le cas où ces termes sont nuls ; car alors, si l’on différentie leurs $n$ intégrales finies $i-1$ fois de suite, on aura in équations qui donneront, par l’élimination, les valeurs des in arbitraires $c,c',\ldots$ en fonction de $t,y,y',\ldots$ et des différences de ces variables jusqu’à l’ordre $i-1.$ On formera ainsi les in équations

$c=\mathrm {V} ,\qquad c'=\mathrm {V} ',\ldots .$

Cela posé, ${\rm {F,F',\ldots }}$ seront les coefficients de ${\frac {d^{i-1}y}{dt^{i-1}}},{\frac {d^{i-1}y'}{dt^{i-1}}},$ dans ${\rm {V\,;\ H,H',\ldots }}$ seront les coefficients des mêmes différences dans ${\rm {V',}}$ et ainsi du reste ; on aura donc les intégrales finies des équations différentielles linéaires

$0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+{\rm {P+\alpha Q}},\qquad 0={\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+{\rm {P'+\alpha Q',\ldots ,}}$

en changeant, dans les intégrales finies de ces équations privées de leurs derniers termes ${\rm {\alpha Q,\alpha Q',\ldots }}$ les arbitraires $c,c',\ldots$ dans

$c-\alpha \int dt\mathrm {(FQ+F'Q'} +\ldots ),\qquad c'-\alpha \int dt\mathrm {(HQ+H'Q'} +\ldots ),\ldots$

Considérons, par exemple, l’équation différentielle linéaire

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a^{2}y+\alpha {\rm {Q.}}$

L’intégrale finie de l’équation $0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a^{2}y$ est

$y={\frac {c}{a}}\sin at+{\frac {c'}{a}}\cos at,$

$c$ et $c'$ étant arbitraires. Cette intégrale donne, en la différentiant,

${\frac {dy}{dt}}=c\cos at-c'\sin at{\frac {c'}{a}}\cos at,$