quelconque
d’équations différentielles linéaires de l’ordre
et qui renferment des termes quelconques
fonctions de la seule variable
, lorsque l’on sait intégrer les mêmes équations dans le cas où ces termes sont nuls ; car alors, si l’on différentie leurs
intégrales finies
fois de suite, on aura in équations qui donneront, par l’élimination, les valeurs des in arbitraires
en fonction de
et des différences de ces variables jusqu’à l’ordre
On formera ainsi les in équations
![{\displaystyle c=\mathrm {V} ,\qquad c'=\mathrm {V} ',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9ab13d3952daf2dd45a909fb25f7f1cf194837)
Cela posé,
seront les coefficients de
dans
seront les coefficients des mêmes différences dans
et ainsi du reste ; on aura donc les intégrales finies des équations différentielles linéaires
![{\displaystyle 0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+{\rm {P+\alpha Q}},\qquad 0={\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+{\rm {P'+\alpha Q',\ldots ,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4995c469f5ec0f97387c65b8e053ca37563d0d01)
en changeant, dans les intégrales finies de ces équations privées de leurs derniers termes
les arbitraires
dans
![{\displaystyle c-\alpha \int dt\mathrm {(FQ+F'Q'} +\ldots ),\qquad c'-\alpha \int dt\mathrm {(HQ+H'Q'} +\ldots ),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e04a61b695a6153c3f2affb9b67d1b09c844da0)
Considérons, par exemple, l’équation différentielle linéaire
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+a^{2}y+\alpha {\rm {Q.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0aae9ad3a553a599773f8bdc97f97f6066250f2)
L’intégrale finie de l’équation
est
![{\displaystyle y={\frac {c}{a}}\sin at+{\frac {c'}{a}}\cos at,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34c59829e87d1989fff9c3851527ffcc1e42898)
et
étant arbitraires. Cette intégrale donne, en la différentiant,
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=c\cos at-c'\sin at{\frac {c'}{a}}\cos at,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f5fddff1613ddcd815796d07fa4e9eb028bf4a1)