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impair ; en supposant donc $n=a^{-{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mu }},$ on aura

$ndt=dv\left[1+\mathrm {E} ^{(1)}\cos(v-\varpi )+\mathrm {E} ^{(2)}\cos 2(v-\varpi )+\mathrm {E} ^{(3)}\cos 3(v-\varpi )+\ldots \right].$

et, en intégrant,

$nt+\varepsilon =v+\mathrm {E} ^{(1)}\sin(v-\varpi )+{\frac {1}{2}}\mathrm {E} ^{(2)}\sin 2(v-\varpi )+{\frac {1}{3}}\mathrm {E} ^{(3)}\sin 3(v-\varpi )+\ldots ,$

$\varepsilon$ étant une arbitraire. Cette expression de $nt+\varepsilon$ est fort convergente lorsque les orbites sont peu excentriques, telles que les orbites des planètes et des satellites ; et l’on peut, par le retour des suites, en conclure la valeur de $v$ en $t$ : nous nous occuperons de cet objet dans les numéros suivants.

Lorsque la planète revient au même point de son orbite, $v$ est augmenté de la circonférence, que nous représenterons toujours par $2\pi$ ; en nommant donc ${\rm {T}}$ le temps d’une révolution, on aura

$T={\frac {2\pi }{n}}={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mu }}}.$

Cette expression de ${\rm {T}}$ peut être immédiatement déduite de l’expression différentielle de $dt,$ sans recourir aux séries. Reprenons, en effet, l’équation $dt={\frac {dv}{hu^{2}}}$ ou $dt={\frac {r^{2}dv}{h}}.$ Elle donne $\mathrm {T} ={\frac {\int r^{2}dv}{h}}\,;\ \int r^{2}dv$ est le double de la surface de l’ellipse, et par conséquent il est égal à $2\pi a^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}\,;$ de plus, $h^{2}$ est égal à $\mu a\left(1-e^{2}\right)\,;$ on aura ainsi la même expression de ${\rm {T}}$ que ci-dessus.

Si l’on néglige les masses des planètes relativement à celle du Soleil, on a ${\sqrt {\mu }}={\sqrt {\mathrm {M} }}\,;$ la valeur de ${\sqrt {\mu }}$ est alors la même pour toutes les planètes ; ${\rm {T}}$ est donc proportionnel alors à $a^{\frac {3}{2}},$ et par conséquent les carrés des temps des révolutions sont comme les cubes des grands axes des orbites. On voit que la même loi a lieu dans le mouvement des satellites autour de leur planète, en négligeant leurs masses relativement à celle de la planète.