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tage de servir à exprimer d’une manière fort simple, non-seulement la série précédente, mais encore le produit de cette série par le sinus ou le cosinus d’un angle quelconque $ft+\varpi$ ; car il est facile de voir que ce produit est égal à

${\frac {1}{2}}\Sigma \mathrm {A} ^{(i)}{\begin{aligned}&\sin \\&\cos \end{aligned}}\left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+ft+\varpi \right].$

Cette propriété nous fournira des expressions très-commodes des perturbations du mouvement des planètes. Soit pareillement

$\left[a^{2}-2aa'\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+a'^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}$

$={\frac {1}{2}}\Sigma \mathrm {B} ^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),$

$\mathrm {B} ^{(-i)}$ étant égal à $\mathrm {B} ^{(i)}.$ Cela posé, on aura, par les théorèmes du n^o 21,

${\begin{aligned}\mathrm {R} =&{\frac {m'}{2}}\Sigma \mathrm {A} ^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&+{\frac {m'}{2}}u_{\text{ı}}\Sigma a{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&+{\frac {m'}{2}}u'_{\text{ı}}\Sigma a'{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a'}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&-{\frac {m'}{2}}\left(v'_{\text{ı}}-v_{\text{ı}}\right)\Sigma i\mathrm {A} ^{(i)}\sin i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&+{\frac {m'}{4}}u_{\text{ı}}^{2}\Sigma a^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a^{2}}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&+{\frac {m'}{2}}u_{\text{ı}}u'_{\text{ı}}\Sigma aa'{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a\partial a'}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&+{\frac {m'}{4}}u'{^{2}}_{\text{ı}}\Sigma a'^{2}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a'^{2}}}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&-{\frac {m'}{2}}\left(v'_{\text{ı}}-v_{\text{ı}}\right)u_{\text{ı}}\Sigma ia{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}\sin i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&-{\frac {m'}{2}}\left(v'_{\text{ı}}-v_{\text{ı}}\right)u'_{\text{ı}}\Sigma ia'{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a'}}\sin i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&-{\frac {m'}{4}}\left(v'_{\text{ı}}-v_{\text{ı}}\right)^{2}\Sigma i^{2}\mathrm {A} ^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&+{\frac {m'zz'}{a'^{3}}}-{\frac {3m'az'^{2}}{2a'^{4}}}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&+{\frac {m'(z'-z)^{2}}{4}}\Sigma \mathrm {B} ^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$