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MÉCANIQUE CÉLESTE.

tions suivantes

(A)

${\begin{cases}0=d{\frac {dx}{dt}}+2\lambda xdt,\\0=d{\frac {dy}{dt}}+2\lambda ydt,\\0=d{\frac {dz}{dt}}+2\lambda zdt-gdt.\end{cases}}$

L’indéterminée $\lambda$ fait connaître la pression que le mobile exerce contre la surface. Cette pression est, par le n° 9, égale à

$\lambda {\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}}}\ ;$

elle est par conséquent égale à $2\lambda r\ ;$ or on a, par le n° 8,

$e+2gz={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}},$

$c$ étant une constante arbitraire : en ajoutant cette équation aux équations (A) divisées par $dt,$ et multipliées respectivement par $x,$ $y,$ $z\ ;$ en observant ensuite que, l’équation différentielle de la surface étant $0=xdx+ydy+zdz,$ on a

$0=xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$

on trouvera

$2\lambda r={\frac {c+3gz}{r}}.$

Si l’on multiplie la première des équations (A) par $-y,$ et qu’on l’ajoute à la seconde multipliée par $x,$ on aura, en intégrant leur somme,

${\frac {xdy-ydx}{dt}}=c'$.

$c'$ étant une nouvelle arbitraire.

Le mouvement du point est ainsi ramené aux trois équations diffé-