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$nt+\varepsilon ,n't+\varepsilon ',$ étant les longitudes moyennes de $m$ et de $m'\,;\ a$ et $a'$ étant les demi-grands axes de leurs orbites ; $e$ et $e'$ étant les rapports des excentricités aux demi-grands axes ; enfin, $\varpi$ et $\varpi '$ étant les longitudes de leurs périhélies. Toutes ces longitudes peuvent être rapportées indifféremment aux plans mêmes des orbites ou à un plan qui leur est fort peu incliné, puisque l’on néglige les quantités de l’ordre des carrés et des produits des excentricités et des inclinaisons. En substituant les valeurs précédentes dans l’expression de ${\rm {R}}$ du n^o 48, on aura

${\begin{aligned}{\rm {R}}&={\frac {m'}{2}}\Sigma {\rm {A}}^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&-{\frac {m'}{2}}\Sigma \left[a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+2i{\rm {A}}^{(i)}\right]e\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\\\&-{\frac {m'}{2}}\Sigma \left[a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a'}}-2(i-1){\rm {A}}^{(i-1)}\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right],\end{aligned}}$

le signe $\Sigma$ des intégrales finies s’étendant à toutes les valeurs entières, positives et négatives, de $i,$ en y comprenant la valeur $i=0$. De là on tire

$2\int d{\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=2m'g+{\frac {m'}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}$

${\begin{aligned}&+{\frac {m'}{2}}\Sigma \left[a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}{\rm {A}}^{(i)}\right]\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\\\&-{\frac {m'}{2}}\left[a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}+3a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}\right]e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\\\\&-{\frac {m'}{2}}\left(aa'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}+2a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}+2a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a'}}+4{\rm {A}}^{(1)}\right)e'\cos(nt+\varepsilon -\varpi ')\\\\&-{\frac {m'}{2}}\Sigma \left[a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i)}}{\partial a^{2}}}+(2i+1)a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2(i-1)n}{i(n-n')-n}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.\times \left(a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+2i{\rm {A}}^{(i)}\right)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi \right]\\\\&-{\frac {m'}{2}}\Sigma \left[aa'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a\partial a'}}-(i-1)a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a}}+{\frac {2(i-1)n}{i(n-n')-n}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.\times \left(a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i-1)}}{\partial a'}}-2(i-1){\rm {A}}^{(i-1)}\right)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times e'\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\varpi '\right],\end{aligned}}$

le signe intégral $\Sigma$ s’étendant, comme dans ce qui suit, à toutes les