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longitudes $\varpi ,\varpi ',\ldots$ de leurs périhélies, au moyen des équations

${\begin{alignedat}{2}e^{2}&=h^{2}+l^{2},&\qquad \qquad e'^{2}&=h'^{2}+l'^{2}+,&\ldots ,\\\operatorname {tang} \varpi &={\frac {h}{l}},&\operatorname {tang} \varpi '&={\frac {h'}{l'}},\ldots \,;\end{alignedat}}$

on aura ainsi

$e^{2}={\rm {N^{2}+N_{1}^{2}+N_{2}^{2}+\ldots +2NN_{1}}}\cos \left[(g_{1}-g)t+{\text{ϐ}}_{1}-{\text{ϐ}}\right]$

$+2{\rm {NN_{2}}}\cos \left[(g_{2}-g)t+{\text{ϐ}}_{2}-{\text{ϐ}}\right]+2{\rm {N_{1}N_{2}}}\cos \left[(g_{2}-g_{1})t+{\text{ϐ}}_{2}-{\text{ϐ}}_{1}\right]+\ldots$

Cette quantité est constamment plus petite que $\left({\rm {N+N_{1}+N_{2}}}+\ldots \right)^{2}.$ lorsque les racines $g,g_{1},\ldots$ sont toutes réelles et inégales, en prenant positivement les quantités ${\rm {N,N_{1}}},\ldots .$ On aura pareillement

$\operatorname {tang} \varpi ={\frac {{\rm {N}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots }{{\rm {N}}\cos(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N_{1}}}\cos(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N_{2}}}\cos(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots }},$

d’où il est facile de conclure

$\operatorname {tang} (\varpi -gt-{\text{ϐ}})=$

${\frac {{\rm {N_{1}}}\sin \left[(g_{1}-g)t+{\text{ϐ}}_{1}-{\text{ϐ}}\right]+{\rm {N_{2}}}\sin \left[(g_{2}-g)t+{\text{ϐ}}_{2}-{\text{ϐ}}\right]+\ldots }{{\rm {N+N_{1}}}\cos \left[(g_{1}-g)t+{\text{ϐ}}_{1}-{\text{ϐ}}\right]+{\rm {N_{2}}}\cos \left[(g_{2}-g)t+{\text{ϐ}}_{2}-{\text{ϐ}}\right]+\ldots }}.$

Lorsque la somme ${\rm {N_{1}^{2}+N_{2}^{2}+\ldots }}$ des coefficients des cosinus de ce dénominateur, pris tous positivement, est moindre que ${\rm {N}},\ \operatorname {tang} (\varpi -gt-{\text{ϐ}})$ ne peut jamais devenir infini ; l’angle $\varpi -gt-{\text{ϐ}}$ ne peut donc jamais alors atteindre le quart de la circonférence, en sorte que le vrai moyen mouvement du périhélie est, dans ce cas, égal à $gt.$

57. Il suit de ce qui précède que les excentricités des orbites et les positions de leurs grands axes sont assujetties à des variations considérables, qui changent à la longue la nature de ces orbites, et dont les périodes, dépendantes des racines $g,g_{1},g_{2},\ldots ,$ embrassent, relativement aux planètes, un grand nombre de siècles. On peut ainsi considérer les excentricités comme des ellipticités variables, et les mouvements des périhélies comme n’étant pas uniformes. Ces variations sont très-sensibles dans les satellites de Jupiter, et nous verrons dans la suite