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séries, est un problème délicat et intéressant d’Analyse. Voici, pour le résoudre, une méthode générale et fort simple.

43. Considérons l’équation différentielle de l’ordre $i$

$0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+{\rm {P+\alpha Q,}}$

$\alpha$ étant très-petit, et ${\rm {P}}$ et ${\rm {Q}}$ étant des fonctions algébriques de $y,{\frac {dy}{dt}},\ldots {\frac {d^{i-1}y}{dt^{i-1}}},$ et de sinus et de cosinus d’angles croissant proportionnellement à $t.$ Supposons que l’on ait l’intégrale complète de cette équation différentielle, dans le cas de $\alpha =0,$ et que la valeur de $y,$ donnée par cette intégrale, ne renferme point l’arc $t$ hors des signes sinus et cosinus ; supposons ensuite qu’en intégrant cette équation par la méthode précédente d’approximation, lorsque $\alpha$ n’est pas nul, on ait

$y=\mathrm {X} +t\mathrm {Y} +t^{2}\mathrm {Z} +t^{3}\mathrm {S} +\ldots ,$

${\rm {X,Y,Z,\ldots }}$ étant des fonctions périodiques de $t,$ qui renferment les $i$ arbitraires $c,c',c'',\ldots ,$ et les puissances de $t,$ dans cette expression de $y,$ s’étendant à l’infini par les approximations successives. Il est visible que les coefficients de ces puissances décroîtront avec d’autant plus de rapidité que $\alpha$ sera $plus$ petit. Dans la théorie des mouvements des corps célestes, $\alpha$ exprime l’ordre des forces perturbatrices, relativement aux forces principales qui les animent.

Si l’on substitue la valeur précédente de $y$ dans la fonction

${\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+{\rm {P+\alpha Q,}}$

elle prendra cette forme

$k+ks't+k''t^{2}+\ldots ,$

$k,k',k'',\ldots$ étant des fonctions périodiques de $t\,;$ mais, par la supposition, la valeur de $y$ satisfait à l’équation différentielle

$0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+{\rm {P+\alpha Q\,;}}$