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et que nous désignerons par $\delta u',$ dans l’expression de $\delta r.$ On aura ainsi

(Z')

$\left\{{\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}\delta u'}{dt^{2}}}+n^{2}\delta u'\\\\&-{\frac {1}{a^{2}}}\left[1+{\frac {1}{4}}e^{2}-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )-{\frac {1}{4}}e^{2}\cos(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\right]{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\\\\&-{\frac {2e}{a^{2}}}\int ndt\left[\sin(nt+\varepsilon -\varpi )\left[1+e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\right]{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\right],\\\\&\delta s=-a\delta u'\left[1+{\frac {3}{4}}e^{2}+2e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )+{\frac {9}{4}}e^{2}\cos(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\right].\end{aligned}}\right.$

Le système des équations (X’), (Y), (Z’) donnera d’une manière fort simple le mouvement troublé de $m,$ en n’ayant égard qu’à la première puissance de la force perturbatrice. La considération des termes dus à cette puissance étant à très-peu près suffisante dans la théorie des planètes, nous allons en tirer des formules commodes pour déterminer le mouvement de ces corps^[1].

48. Il est nécessaire, pour cela, de développer la fonction ${\rm {R}}$ en série. Si l’on n’a égard qu’à l’action de $m$ sur $m',$ on a, par le n^o 46,

$\mathrm {R} ={\frac {m'(xx'+yy'+zz')}{\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}-{\frac {m'}{\left[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}.$

Cette fonction est entièrement indépendante de la position du plan des $x$ et des $y$ ; car, le radical ${\sqrt {(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}}}$ exprimant la distance de $m$ à $m',$ il en est indépendant ; la fonction

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}-2xx'-2yy'-2zz'$

en est donc pareillement indépendante ; mais les carrés $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ et $x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}$ des rayons vecteurs ne dépendent point de cette po-

1. Dans l’édition publiée par le Gouvernement français, on trouve à la fin du tome V, pour le n^o 47 du Livre II, une correction indiquée par l’Auteur dans les termes suivants :

   « L’équation (Z’) du dernier alinéa de ce numéro n’est exacte qu’en négligeant l’excentricité et le carré de l’inclinaison de l’orbite. C’est avec cette restriction qu’elle a été employée dans tout l’Ouvrage. Il faut supprimer cet alinéa et y substituer ces mots : L’équation (Z) du numéro précédent donnera, d’une manière fort simple, la valeur de $\delta s.$ »

   (Note de l’Éditeur.)