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trois éléments de l’orbite elliptique, savoir, l’inclinaison $\varphi$ de l’orbite sur le plan des $x$ et des $y$, et la longitude $\theta$ de son nœud, au moyen des équations

$\operatorname {tang} \varphi ={\frac {\sqrt {c'^{2}+c''^{2}}}{c}},\qquad \operatorname {tang} \theta ={\frac {c''}{c'}},$

et le demi-paramètre $a\left(1-e^{2}\right)$ de l’ellipse au moyen de l’équation

$\mu a\left(1-e^{2}\right)=c^{2}+c'^{2}+c''^{2}.$

Ces mêmes équations subsistent encore dans le cas de l’ellipse variable, pourvu que l’on détermine $c,c',c''$ au moyen des équations différentielles précédentes. On aura ainsi le paramètre de l’ellipse variable, son inclinaison sur le plan fixe des $x$ et des $y$, et la position de son nœud.

Les trois premières des équations (p) nous ont donné, dans le n^o 19, l’intégrale finie $0=c''x-c'y+cz\,;$ cette équation subsiste encore dans le cas de l’ellipse troublée, ainsi que sa première différence $0=c''dx-c'dy+cdz,$ prise en regardant $c,c',c''$ comme constants.

Si l’on différentie la quatrième, la cinquième et la sixième des intégrales (p), en n’y faisant varier que les paramètres $f,f',f''$ et les différences $dx,dy,dz\,;$ si l’on substitue ensuite, au lieu de $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z,$ les quantités $-dt^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}},$$-dt^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}},\ -dt^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}},$ on aura

${\begin{aligned}df=&dy\left(y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}\right)+dz\left(z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\right)\\&+(ydx-xdy){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}+(zdx-xdz){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}},\\\\df'=&dx\left(x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}\right)+dz\left(z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\right)\\&+(xdy-ydx){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}+(zdy-ydz){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}},\\\\df''=&dx\left(x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}-z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}\right)+dy\left(y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}-z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}\right)\\&+(xdz-zdx){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}+(ydz-zdy){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}.\end{aligned}}$