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On aura pareillement

${\frac {\partial ^{n'}u}{\partial \alpha '^{n'}}}={\frac {\partial ^{n'-1}{\frac {\partial u}{\partial \alpha '}}}{\partial t'^{n'-1}}},$

en supposant $\alpha '$ nul après les différentiations, et en supposant de plus, dans le second membre de cette équation, $x'=\psi \left(t'+\alpha 'z'^{n'}\right)$ ; on aura donc

${\frac {\partial ^{n+n'}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}}}={\frac {\partial ^{n+n'-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha '}}}{\partial t^{n-1}\partial t'^{n'-1}}},$

pourvu que l’on fasse $\alpha$ et $\alpha '$ nuls après les différentiations, et que, de plus, on suppose dans le second membre de cette équation

$x=\varphi (t+\alpha z^{n}),\qquad x'=\psi (t'+\alpha 'z'^{n'}),$

ce qui revient à supposer dans ce second membre, comme dans le premier,

$x=\varphi (t+\alpha z),\qquad x'=\psi (t'+\alpha 'z'),$

et à changer, dans la différence partielle ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha '}}$ de ce second membre, $z$ en $z^{n}$ et $z'$ en $z'^{n'}.$ On aura ainsi dans ces suppositions, et en changeant de plus $z$ en $\mathrm {Z} ,\ z'$ en $\mathrm {Z'} ,$ et $u$ en $\mathrm {u} ,$

$q_{n,n'}={\frac {\partial ^{n+n'-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha '}}}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'.\partial t^{n-1}\partial t'^{n'-1}}}.$

En suivant ce raisonnement, il est facile d’en conclure que, si l’on a les $r$ équations

${\begin{aligned}x&=\varphi (t+\alpha z),\\x'&=\psi (t'+\alpha 'z'),\\x''&=\Pi (t''+\alpha ''z''),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

$z,z',z'',\ldots$ étant des fonctions quelconques de $x,x',x'',\ldots ,$ et si l’on