le système en équilibre, est un point du système très-remarquable, en ce qu’étant soutenu, le système animé par la pesanteur reste en équilibre, quelque situation qu’on lui donne autour de ce point, que l’on nomme centre de gravité du système. Sa position est déterminée par la condition que, si l’on fait passer par ce point un plan quelconque, la somme des produits de chaque corps par sa distance à ce plan est nulle ; car cette distance est une fonction linéaire des coordonnées
du corps ; en la multipliant donc par la masse du corps, la somme de ces produits sera nulle en vertu des équations
Pour fixer la position du centre de gravité, soient
ses trois coordonnées par rapport à un point donné ; soient
les coordonnées de
rapportées au même point ;
celles de
et ainsi de suite ; les équations
donneront
![{\displaystyle 0=\sum m(x-{\rm {X)\ ;}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ff1b489fd026e798ec5974bfd57c8d5faa79e10)
mais on a
étant la masse entière du système ; on a donc
![{\displaystyle \mathrm {X} ={\frac {\sum mx}{\sum m}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b034480ef3ab0dfc0b38c8409b84f50c168a815)
On aura pareillement
![{\displaystyle \mathrm {Y} ={\frac {\sum my}{\sum m}},\quad \mathrm {Z} ={\frac {\sum mz}{\sum m}}\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70f38fbdbe0284a4cd526acb9ee082f3e37c122)
ainsi, les coordonnées
ne déterminant qu’un seul point, on voit que le centre de gravité d’un système de corps est unique. Les trois équations précédentes donnent
![{\displaystyle {\rm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}={\frac {(\sum mx)^{2}+(\sum my)^{2}+(\sum mz)^{2}}{(\sum m)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139152ad77af471e7fdfb3862c14ea3b56188a0c)
équation que l’on peut mettre sous cette forme :
![{\displaystyle {\rm {X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01428e02f22e1d1b1040c622d5b6d48cc101e561)
![{\displaystyle {\frac {\sum \,m\,(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{\sum \,m}}-{\frac {\sum m\,m'[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}]}{(\sum \,m)^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a28c28ceb0d507ca84027a8f47e4768a5a62d71f)
l’intégrale finie
exprimant la somme de tous les produits semblables à celui qui est renfermé sous la