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MÉCANIQUE CÉLESTE.

somme des forces parallèles à l’axe des $x$, multipliées respectivement par leurs distances à l’axe des $z,$ moins la somme des forces parallèles à l’axe des $y,$ multipliées par leurs distances à l’axe des $z,$ est égale à zéro ; on aura ainsi

(1)

${\begin{aligned}\mathrm {S} \left[\left(x+x'\right){\frac {d^{2}y+d^{2}y'}{dt^{2}}}-\left(y+y'\right){\frac {d^{2}x+d^{2}x'}{dt^{2}}}\right]dm\\\\\qquad \qquad \qquad \qquad =\mathrm {S} \left[\left(x+x'\right)\mathrm {Q} -\left(y+y'\right)\mathrm {P} \right]dm.\end{aligned}}$

Or on a

$\mathrm {S} \left(xd^{2}y-yd^{2}x\right)dm=m\left(xd^{2}y-yd^{2}x\right);$

on a pareillement

$\mathrm {S} \left(\mathrm {Q} x-\mathrm {P} y\right)dm=x\mathrm {S} \mathrm {Q} dm-y\mathrm {S} \mathrm {P} dm;$

enfin on a

${\begin{aligned}\mathrm {S} &\left(x'd^{2}y+xd^{2}y-y'd^{2}x-yd^{2}x'\right)dm\\&=d^{2}y\cdot \mathrm {S} x'dm-d^{2}x\cdot \mathrm {S} y'dm+x\cdot \mathrm {S} d^{2}y'dm-y\cdot \mathrm {S} d^{2}x'dm\,;\end{aligned}}$

et, par la nature du centre de gravité, chacun des termes du second membre de cette équation est nul ; l’équation (I) deviendra donc, en vertu des équations (A),

$\mathrm {S} {\frac {x'd^{2}y'-y'd^{2}x'}{dt^{2}}}dm=\mathrm {S} \left(\mathrm {Q} x'-\mathrm {P} y'\right)dm;$

en intégrant cette équation par rapport au temps $t,$ on aura

$\mathrm {S} {\frac {x'dy'-y'dx'}{dt}}dm=\mathrm {S} int\left(\mathrm {Q} x'-\mathrm {P} y'\right)dtdm;$

le signe intégral $\int {}$ se rapportant au temps $t.$

De là il est facile de conclure que, si l’on fait

${\begin{aligned}&\mathrm {S} \int \left(\mathrm {Q} x'-\mathrm {P} y'\right)dtdm=\mathrm {N} \\&\mathrm {S} \int \left(\mathrm {R} x'-\mathrm {P} z'\right)dtdm=\mathrm {N} '\\&\mathrm {S} \int \left(\mathrm {R} y'-\mathrm {Q} z'\right)dtdm=\mathrm {N} ''\end{aligned}}$