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On trouvera pareillement que l’équation (6) du n^o 9 donne

$c''=mp{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}+m'p'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '}}}+\ldots$

Si dans ces deux équations on néglige les quantités de l’ordre $e^{3}$ ou $e^{2}\varphi ,$ elles deviennent

${\begin{aligned}{\rm {const}}.&=mq{\sqrt {a}}+m'q'{\sqrt {a'}}+\ldots ,\\{\rm {const}}.&=mp{\sqrt {a}}+m'p'{\sqrt {a'}}+\ldots ,\end{aligned}}$

équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans le n^o 59.

Enfin, l’équation (7) du n^o 9 donnera, en observant que, par le n^o 18,

${\frac {\mu }{a}}={\frac {2\mu }{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}},$

et en négligeant les quantités de l’ordre $mm',$

const.$={\frac {m}{a}}+{\frac {m'}{a'}}+{\frac {m''}{a''}}+\ldots$

Ces diverses équations subsistent eu égard aux inégalités à très-longues périodes qui peuvent affecter les éléments des orbites de $m,m',\ldots .$ Nous avons observé, dans le n^o 54, que les rapports des moyens mouvements de ces corps peuvent introduire dans les expressions des grands axes des orbites, considérées comme variables, des inégalités dont les arguments proportionnels au temps croissent avec beaucoup de lenteur, et qui, ayant pour diviseurs les coefTicients du temps $t$ dans ces arguments, peuvent devenir sensibles. Or il est visible qu’en n’ayant égard qu’aux termes qui ont de semblables diviseurs, et en considérant les orbites comme des ellipses dont les éléments varient à raison de ces termes, les intégrales (4), (5), (6) et (7) du n^o 9 donneront toujours les relations que nous venons de trouver entre ces éléments, parce que les termes de l’ordre $mm',$ que nous avons négligés dans ces intégrales pour en conclure ces relations, n’ont point pour diviseurs les très-petits coefficients dont nous venons de parler, ou du moins ils ne les