Si l’on multiplie la première des équations (k) par
et que l’on en retranche la seconde multipliée par
on aura
![{\displaystyle 0=\sin \alpha {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\cos \alpha {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {x\sin \alpha -y\cos \alpha }{r^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25be433252861796d95348da3e4311a23f3b899d)
d’où l’on tire, en substituant pour
et
leurs valeurs précédentes,
![{\displaystyle 0=\sin \alpha {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}-\cos \alpha {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {x'\sin \alpha -y'\cos \alpha }{r^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1363b64bbb80aaa02e8874d2d6610da53b7e23b5)
![{\displaystyle -2\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)-\rho \left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deaa2425c83c29815e3c218003787f554dc81b8b)
La Terre étant retenue dans son orbite, comme la comète, par l’attraction du Soleil, on a
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{\mathrm {R} ^{3}}},\qquad 0={\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{\mathrm {R} ^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5a19dd6990a9cb7e5a0173d841f3b77ba04ab)
ce qui donne
![{\displaystyle \sin \alpha {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}-\cos \alpha {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}={\frac {y'\cos \alpha -x'\sin \alpha }{\mathrm {R} ^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f7914ec9a3f62ac99427af6d234c6e4cbf3156)
on aura donc
![{\displaystyle 0=(y'\cos \alpha -x'\sin \alpha )\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)-2\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)-\rho \left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5900153cc29177af047725619fde864b8780c1)
Soit
la longitude de la Terre vue du Soleil ; on aura
![{\displaystyle x'=\mathrm {R} \cos \mathrm {A} ,\qquad y'=\mathrm {R} \sin \mathrm {A} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c2b863b620c6eeda570b33288cddc3b7c1b2c7)
partant
![{\displaystyle y'\cos \alpha -x'\sin \alpha =\mathrm {R} \sin(\mathrm {A} -\alpha )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ed671182c88d155c596de084f13c424f4c3a6e)
l’équation précédente donnera ainsi
(1)
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Cherchons maintenant une seconde expression de
Pour cela, nous multiplierons la première des équations (k) par
la seconde par
et nous retrancherons la troisième équation de la somme