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Si l’on multiplie la première des équations (k) par $\sin \alpha ,$ et que l’on en retranche la seconde multipliée par $\cos \alpha ,$ on aura

$0=\sin \alpha {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\cos \alpha {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {x\sin \alpha -y\cos \alpha }{r^{3}}}\,;$

d’où l’on tire, en substituant pour $x$ et $y$ leurs valeurs précédentes,

$0=\sin \alpha {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}-\cos \alpha {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {x'\sin \alpha -y'\cos \alpha }{r^{3}}}$

$-2\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)-\rho \left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right).$

La Terre étant retenue dans son orbite, comme la comète, par l’attraction du Soleil, on a

$0={\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {x'}{\mathrm {R} ^{3}}},\qquad 0={\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {y'}{\mathrm {R} ^{3}}},$

ce qui donne

$\sin \alpha {\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}-\cos \alpha {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}={\frac {y'\cos \alpha -x'\sin \alpha }{\mathrm {R} ^{3}}}\,;$

on aura donc

$0=(y'\cos \alpha -x'\sin \alpha )\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)-2\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)-\rho \left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right).$

Soit $A$ la longitude de la Terre vue du Soleil ; on aura

$x'=\mathrm {R} \cos \mathrm {A} ,\qquad y'=\mathrm {R} \sin \mathrm {A} \,;$

partant

$y'\cos \alpha -x'\sin \alpha =\mathrm {R} \sin(\mathrm {A} -\alpha )\,;$

l’équation précédente donnera ainsi

(1)

$\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)={\frac {R\sin(A-\alpha )}{2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)}}\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)-{\frac {\rho \left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)}{2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)}}.$

Cherchons maintenant une seconde expression de $\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)$ Pour cela, nous multiplierons la première des équations (k) par $\operatorname {tang} \theta \cos \alpha ,$ la seconde par $\operatorname {tang} \theta \sin \alpha ,$ et nous retrancherons la troisième équation de la somme