aura donc la valeur de
en substituant dans son expression, au lieu de
et de
les parties de leurs expressions qui dépendent de la force perturbatrice. Or, en n’ayant égard qu’à ces parties, l’équation (R’) et son intégrale donnent
![{\displaystyle {\begin{aligned}\,frac{d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}&=-2{\rm {{Q},}}\\\\{\frac {4r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}&=-8\int \mathrm {Q} rdr\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cccc0cafdb0e95017130b30d0fcdcb17e618641)
partant
![{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u=-2\mathrm {Q} \psi '\left(r^{2}\right)-8\psi ''\left(r^{2}\right)\int \mathrm {Q} rdr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2b9d2b5d7f343770d61302e370527c197f9749)
Maintenant, de l’équation
on tire
celle-ci
donne
et par conséquent
![{\displaystyle \psi '\left(r^{2}\right)={\frac {1}{\varphi '(u)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4539c9f24d52b375de155080227cdcc60b905df8)
En différentiant cette dernière équation, et substituant
au lieu de
on aura
![{\displaystyle \psi ''\left(r^{2}\right)=-{\frac {\varphi ''(u)}{\varphi '(u)^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/179e959b464d4deb95048a53af1a6a93c91a42b7)
étant égal à
de même que
est égal à
Cela posé, si l’on fait
![{\displaystyle u=e\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5c22b158cd76bbf203635663865d70e56de633a)
l’équation différentielle en
deviendra
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}\delta u}{dt^{2}}}+n^{2}\delta u-{\frac {4\varphi ''(u)}{\varphi '(u)^{3}}}\int \mathrm {Q} du\varphi '(u)+{\frac {2\mathrm {Q} }{\varphi '(u)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a951405d85af10fbcbb30d06323f636482736a7)
et, si l’on néglige le carré de la force perturbatrice,
pourra être supposé égal à
dans les termes dépendants de ![{\displaystyle {\rm {{Q}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81f018bf79a250c6b4f152330731d7e2f0913c97)