Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/320

aura donc la valeur de ${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u,$ en substituant dans son expression, au lieu de ${\frac {d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}}$ et de ${\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}},$ les parties de leurs expressions qui dépendent de la force perturbatrice. Or, en n’ayant égard qu’à ces parties, l’équation (R’) et son intégrale donnent

${\begin{aligned}\,frac{d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}&=-2{\rm {{Q},}}\\\\{\frac {4r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}&=-8\int \mathrm {Q} rdr\,;\end{aligned}}$

partant

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u=-2\mathrm {Q} \psi '\left(r^{2}\right)-8\psi ''\left(r^{2}\right)\int \mathrm {Q} rdr.$

Maintenant, de l’équation $u=\psi \left(r^{2}\right)$ on tire $du=2rdr\psi '\left(r^{2}\right)\,;$ celle-ci $r^{2}=\varphi (u)$ donne $2rdr=du\varphi '(u),$ et par conséquent

$\psi '\left(r^{2}\right)={\frac {1}{\varphi '(u)}}.$

En différentiant cette dernière équation, et substituant $\varphi (u)$ au lieu de ${\frac {2rdr}{du}}$ on aura

$\psi ''\left(r^{2}\right)=-{\frac {\varphi ''(u)}{\varphi '(u)^{3}}},$

$\varphi ''(u)$ étant égal à ${\frac {d\varphi '(u)}{du}}$ de même que $\varphi '(u)$ est égal à ${\frac {d\varphi (u)}{du}}.$ Cela posé, si l’on fait

$u=e\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),$

l’équation différentielle en $u$ deviendra

$0={\frac {d^{2}\delta u}{dt^{2}}}+n^{2}\delta u-{\frac {4\varphi ''(u)}{\varphi '(u)^{3}}}\int \mathrm {Q} du\varphi '(u)+{\frac {2\mathrm {Q} }{\varphi '(u)}}.$

et, si l’on néglige le carré de la force perturbatrice, $u$ pourra être supposé égal à $e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )$ dans les termes dépendants de ${\rm {{Q}.}}$