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reuses ; mais elle offre un moyen simple d’avoir des intégrales de plus en plus approchées, lorsque $\alpha$ est fort petit et lorsque l’on a les valeurs de $y,y',\ldots ,$ dans la supposition de $\alpha$ nul. En différentiant ces valeurs $i-1$ fois de suite, on formera les équations différentielles de l’ordre $i-1$

$c=\mathrm {V} ,\qquad c'=\mathrm {V} ',\ldots$

Les coefficients de ${\frac {d^{i}y}{dt^{i}}},{\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}},\ldots$ dans les différentielles de ${\rm {V,V',\ldots }}$ étant les valeurs de ${\rm {F,F',\ldots H,H',\ldots ,}}$ on les substituera dans les fonctions différentielles

$dt{\rm {(FQ+F'Q'}}+\ldots ),\qquad dt{\rm {(HQ+H'Q'}}+\ldots ),$

Ensuite on substituera dans ces fonctions, au lieu de $y,y',\ldots ,$ leurs premières valeurs approchées, ce qui rendra ces différences fonctions de $t$ et des arbitraires $c,c',\ldots .$ Soient $\mathrm {T} dt,\mathrm {T} 'dt,\ldots$ ces fonctions. Si l’on change, dans les premières valeurs approchées de $y,y',\ldots ,$ les arbitraires $c,c',\ldots ,$ respectivement dans $c-\alpha \int \mathrm {T} dt,\ c'-\alpha \int \mathrm {T} 'dt,\ldots ,$ on aura les secondes valeurs approchées de ces variables.

On substituera de nouveau ces secondes valeurs dans les fonctions différentielles

$dt{\rm {(FQ}}+\ldots ),\qquad dt{\rm {(HQ}}+\ldots ),$

or il est visible que ces fonctions sont alors ce que deviennent celles-ci $\mathrm {T} dt,\mathrm {T} 'dt,\ldots$ lorsque l’on y change les arbitraires $c,c',\ldots$ dans $c-\alpha \int \mathrm {T} dt,\ c'-\alpha \int \mathrm {T} 'dt,\ldots .$ Soient donc $\mathrm {T} _{\text{ı}},\mathrm {T} '_{\text{ı}},\ldots$ ce que deviennent ${\rm {T,T',\ldots }}$ par ces changements : on aura les troisièmes valeurs approchées de $y,y',\ldots ,$ en changeant, dans les premières, $c,c',\ldots$ respectivement dans $c-\alpha \int \mathrm {T} _{\text{ı}}dt,\ c'-\alpha \int \mathrm {T} '_{\text{ı}}dt,\ldots ,$

Nommons pareillement $\mathrm {T} _{\text{ıı}},\mathrm {T} '_{\text{ıı}},\ldots$ ce que deviennent ${\rm {T,T',\ldots ,}}$ lorsque l’on y change $c,c',\ldots$ dans $c-\alpha \int \mathrm {T} _{\text{ı}}dt,\ c'-\alpha \int \mathrm {T} '_{\text{ı}}dt\,;\ldots$ on aura les quatrièmes valeurs approchées de $y,y',\ldots ,$ en changeant, dans les premières valeurs approchées de ces variables, $c,c',\ldots$ dans $c-\alpha \int \mathrm {T} _{\text{ıı}}dt,\ c'-\alpha \int \mathrm {T} '_{\text{ıı}}dt,\ldots$ et ainsi de suite.