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$(\delta \mathrm {V} )$ étant la valeur de $\delta \mathrm {V}$ qui convient à cet état. Supposons que le fluide dont il s’agit soit la mer ; la variation $(\delta \mathrm {V} )$ sera le produit de la pesanteur multipliée par l’élément de sa direction. Nommons $g$ la pesanteur, et \delta y l’élévation d’une molécule d’eau de sa surface, au-dessus de sa surface d’équilibre, surface que nous regarderons comme le véritable niveau de la mer. La variation $(\delta \mathrm {V} )$ croîtra par cette élévation, dans l’état de mouvement, de la quantité $-\alpha g\delta y,$ parce que la pesanteur est à fort peu près dirigée dans le sens des aj et vers leur origine. En désignant ensuite par $\alpha \delta \mathrm {aV}$ la partie de $\delta \mathrm {V}$ relative aux nouvelles forces qui, dans l’état de mouvement, sollicitent la molécule, et qui dépendent soit des changements qu’éprouvent par cet état les attractions du sphéroïde et du fluide, soit des attractions étrangères, on aura à la surface

$\delta \mathrm {V} =(\delta \mathrm {V} )-\alpha g\delta y+\alpha \delta \mathrm {V} '.$

La variation ${\frac {n^{2}}{2}}\delta \left[(r+\alpha s)\sin(\theta +\alpha u)\right]^{2}$ croît de la quantité $\alpha n^{2}\delta y.r\sin ^{2}\theta ,$ en vertu de la hauteur de la molécule d’eau au-dessus du niveau de la mer ; mais cette quantité peut être négligée relativement au terme $-\alpha g\delta y,$ parce que le rapport ${\frac {n^{2}r}{g}}$ de la force centrifuge à l’équateur, à la pesanteur, est une très-petite fraction égale à ${\frac {1}{289}}.$ Enfin le rayon $r$ est à fort peu près constant à la surface de la mer, parce qu’elle diffère très-peu d’une surface sphérique ; on peut donc y supposer $\delta r$ nulle. L’équation (L) devient ainsi, à la surface de la mer.

$r^{2}\delta \theta \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-2n\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial v}{\partial t}}\right)$

$+r^{2}\delta \varpi \left(\sin ^{2}\theta {\frac {\partial ^{2}v}{\partial t^{2}}}+2n\sin \theta \cos \theta {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {2n\sin ^{2}\theta }{r}}{\frac {\partial s}{\partial t}}\right)=-g\delta y+\delta \mathrm {V} ',$

les variations $\delta y$ et $\delta \mathrm {V} '$ étant relatives aux deux variables $\theta$ et $\varpi .$

Considérons, présentement, l’équation relative à la continuité du fluide. Pour cela, concevons, à l’origine du mouvement, un parallélépipède rectangle dont la hauteur soit $dr,$ dont la largeur soit $rd\varpi \sin \theta ,$ et dont la longueur soit $rd\theta .$ Nommons $r',\theta '$ et $\varpi '$ ce que deviennent $r,$