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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Différentions ces équations, en regardant $u,$ $v$ et $w$ comme fonctions des coordonnées $x,$ $y,$ $z$ de la molécule, et du temps $t\,;$ nous aurons

${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial u}{\partial t}}\,+u{\frac {\partial u}{\partial x}}\,+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\,+w{\frac {\partial u}{\partial z}},\\\\{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial v}{\partial t}}\,+u{\frac {\partial v}{\partial x}}\,+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\,+w{\frac {\partial v}{\partial z}},\\\\{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}&={\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}.\end{aligned}}$

L’équation (F) du numéro précédent deviendra ainsi

(H)$\qquad \left\{{\begin{aligned}\delta \mathrm {V} -{\frac {\delta p}{\rho }}&=\delta x\left({\frac {\partial u}{\partial t}}\,+u{\frac {\partial u}{\partial x}}\,+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\,+w{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)\\\\&+\delta y\left({\frac {\partial v}{\partial t}}\,+u{\frac {\partial v}{\partial x}}\,+v{\frac {\partial v}{\partial y}}\,+w{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)\\\\&+\delta z\left({\frac {\partial w}{\partial t}}+u{\frac {\partial w}{\partial x}}+v{\frac {\partial w}{\partial y}}+w{\frac {\partial w}{\partial z}}\right).\end{aligned}}\right.$

Pour avoir l’équation relative à la continuité du fluide, concevons que, dans la valeur de ϐ du numéro précédent, $a,$ $b,$ $c$ soient égaux à $x,$ $y,$ $z,$ et que $x,$, $y,$, $z$ soient égaux à $x+u\,dt,$ $y+v\,dt,$ $z+w\,dt,$ ce qui revient à prendre les coordonnées primitives $a,$ $b,$ $c$ infiniment près de $x,$ $y,$ $z\,;$ on aura

ϐ$=1+dt\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right),$

l’équation (G) devient

$\rho dt\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)+\rho -\left(\rho \right)=0\,;$

Si l’on considère $\rho$ comme fonction de $x,$ $y,$ $z$ et de $t,$ on a

$\left(\rho \right)=\rho -dt{\frac {\partial \rho }{\partial t}}-udt{\frac {\partial \rho }{\partial x}}-vdt{\frac {\partial \rho }{\partial y}}-wdt{\frac {\partial \rho }{\partial z}}\,;$

l’équation précédente se change ainsi dans la suivante

(K)

$0={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \cdot \rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial \cdot \rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial \cdot \rho w}{\partial z}}\,;$