Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/365

quatrième par $m'{\sqrt {a'}}.l',\ldots ,$ et qu’ensuite on les ajoute ensemble, les coefficients de $hl,hs'l',h''l'',\ldots$ seront nuls dans cette somme ; le coefficient de $h'l-hl'$ sera ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}m{\sqrt {a}}-{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}m'{\sqrt {a'}},$ et il sera nul, en vertu de l’équation ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}m{\sqrt {a}}={\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}m'{\sqrt {a'}},$ trouvée dans le n^o 55. Les coefficients de $h''l-hl'',h''l'-h'l'',\ldots$ seront nuls par la même raison ; la somme des équations (A) ainsi préparées se réduira donc à l’équation suivante

${\frac {hdh+ldl}{dt}}m{\sqrt {a}}+{\frac {h'dh'+l'dl'}{dt}}m'{\sqrt {a'}}+\ldots =0,$

et par conséquent à celle-ci

$0=ede.m{\sqrt {a}}+e'de'.m'{\sqrt {a'}}+\ldots$

En intégrant cette équation et en observant que, par le n^o 54, les demi-grands axes $a,a',\ldots$ sont constants, on aura

(u)

$e^{2}m{\sqrt {a}}+e'^{2}m'{\sqrt {a'}}+e''^{2}m''{\sqrt {a''}}+\ldots =$const.

Maintenant, les corps $m,m',m'',\ldots$ étant supposés circuler dans le même sens, les radicaux ${\sqrt {a}},{\sqrt {a'}},{\sqrt {a''}},\ldots$ doivent être pris positivement dans l’équation précédente, comme on l’a vu dans le n^o 55 ; tous les termes du premier membre de cette équation sont donc positifs, et par conséquent chacun d’eux est moindre que la constante du second membre ; or, en supposant à une époque quelconque les excentricités très-petites, cette constante sera fort petite ; chacun des termes de l’équation restera donc toujours fort petit, et ne pourra pas croître indéfiniment ; les orbites seront toujours à fort peu près circulaires.

Le cas que nous venons d’examiner est celui des planètes et des satellites du système solaire, puisque tous ces corps circulent dans le même sens, et qu’à l’époque où nous sommes leurs orbites sont peu excentriques. Pour ne laisser aucun doute sur ce résultat important, nous observerons que, si l’équation qui détermine $g$ renfermait des