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coefficient constant, qui, dans la théorie des mouvements célestes, est de l’ordre des forces perturbatrices. Supposons ensuite que l’on ait les intégrales finies de ces équations, lorsque ${\rm {Q,Q',\ldots }}$ sont nuls ; en les différentiant chacune $i-1$ fois de suite, elles formeront avec leurs différentielles $in$ équations, au moyen desquelles on pourra déterminer par l’élimination les arbitraires $c,c',c'',\ldots$ en fonction de $t,y,y',y'',\ldots$ et de leurs différences jusqu’à l’ordre $i-1$. En désignant donc par ${\rm {V,V',V'',\ldots }}$ ces fonctions, on aura

$c=\mathrm {V} ,\qquad c'=\mathrm {V} ',\qquad c''=\mathrm {V} '',\ldots .$

Ces équations sont les $in$ intégrales de l’ordre $i-1$ que les équations différentielles doivent avoir, et qui, par l’élimination des différences des variables, donnent leurs intégrales finies.

Maintenant, et l’on différentie les intégrales précédentes de l’ordre $i-1,$ on aura

$0=d\mathrm {V} ,\qquad 0=d\mathrm {V} ',\qquad 0=d\mathrm {V} '',\ldots$

Or il est clair que, ces dernières équations étant différentielles de l’ordre i, sans renfermer d’arbitraires, elles ne peuvent être que les sommes des équations

$0={\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ,\qquad 0={\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+\mathrm {P} ',\ldots$

multipliées chacune par des facteurs convenables pour que ces sommes soient des différences exactes. En nommant donc $\mathrm {F} dt,\mathrm {F} 'dt,\ldots$ les facteurs qui doivent multiplier respectivement ces équations pour former la suivante $0=d{\rm {V}}$ ; en nommant pareillement $\mathrm {H} dt,\mathrm {H} 'dt,\ldots$ les facteurs qui doivent multiplier respectivement les mêmes équations pour former celle-ci $0=d{\rm {V'}}$ et ainsi du reste, on aura

${\begin{aligned}d\mathrm {V} &=\mathrm {F} dt\left({\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} \right)+\mathrm {F} 'dt\left({\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+\mathrm {P} '\right),\\\\d\mathrm {V} '&=\mathrm {H} dt\left({\frac {d^{i}y}{dt^{i}}}+\mathrm {P} \right)+\mathrm {H} 'dt\left({\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}}+\mathrm {P} '\right),\end{aligned}}$

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