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Ayant ainsi déterminé les valeurs de $\alpha ,a,b,\theta ,h$ et $l,$ on déterminera la longitude du Soleil à l’instant que l’on a choisi pour époque. Soit ${\rm {E}}$ cette longitude, ${\rm {R}}$ la distance correspondante de la Terre au Soleil, et ${\rm {{R}'}}$ la distance qui répond à ${\rm {E}}$ augmenté d’un angle droit ; on formera les équations suivantes :

(1)

$r^{2}={\frac {x^{2}}{\cos ^{2}\theta }}-2\mathrm {R} x\cos(\mathrm {E} -\alpha )+\mathrm {R} ^{2},$

(2)

$y={\frac {R\sin(\mathrm {E} -\alpha )}{2a}}\left({\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}\right)-{\frac {bx}{2a}},$

(3)$\qquad y=-x\left(h\operatorname {tang} \theta +{\frac {l}{2h}}+{\frac {a^{2}\sin \theta \cos \theta }{2h}}\right)$

$+{\frac {\mathrm {R} \sin \theta \cos \theta }{2h}}\cos(\mathrm {E} -\alpha )\left({\frac {1}{\mathrm {R} ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right),$

(4)$\left\{{\begin{aligned}0=y^{2}&+a^{2}x^{2}+\left(y\operatorname {tang} a\theta +{\frac {hx}{\cos ^{2}a\theta }}\right)^{2}\\\\&+2y\left[{\frac {\sin(\mathrm {E} -\alpha )}{\mathrm {R} }}-(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {E} -\alpha )\right]\\\\&-2ax\left[(\mathrm {R} '-1)\sin(\mathrm {E} -\alpha )+{\frac {\cos(\mathrm {E} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]+{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}-{\frac {2}{r}}.\end{aligned}}\right.$

Pour tirer de ces équations les valeurs des inconnues $x,y$ et $r$, on considérera d’abord si, abstraction faite du signe, $b$ est plus grand ou plus petit que $l.$ Dans le premier cas, on fera usage des équations (1), (2) et (4). On formera une première hypothèse pour $x$, en le supposant, par exemple, égal à l’unité, et l’on en conclura, au moyen des équations (1) et (2), les valeurs de $r$ et de $y.$On substituera ensuite ces valeurs dans l’équation (4), et, si le reste est nul, ce sera une preuve que la valeur de $x$ a été bien choisie ; mais, si ce reste est négatif, on augmentera la valeur de $x,$ et on la diminuera si le reste est positif. On aura ainsi, au moyen d’un petit nombre d’essais, les valeurs de $x,y$ et $r$ ; mais, comme ces inconnues peuvent être susceptibles de plusieurs valeurs réelles et positives, il faudra choisir celle qui satisfait exactement ou à peu près à l’équation (3).

Dans le second cas, c’est-à-dire si l’on a $l>b,$ on fera usage des équations (1), (3) et (4). et alors ce sera l’équation (2) qui servira de vérification.