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suppose $u$ fonction des mêmes variables, on aura généralement

$q_{n,n',n'',\ldots }={\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots -r}{\frac {\partial ^{r}u}{\partial \alpha \partial \alpha '\partial \alpha ''\ldots }}}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'.1.2.3\ldots n''\ldots \partial t^{n-1}\partial t'^{n'-1}\partial t''^{n''-1}\ldots }},$

pourvu que, dans la différence partielle ${\frac {\partial ^{r}u}{\partial \alpha \partial \alpha '\partial \alpha ''\ldots }},$ on change $z$ en $z^{n},\ z'$ en $z'^{n'},\ldots ,$ et qu’ensuite on change $z$ en $\mathrm {Z} ,\ z'$ en $\mathrm {Z'} ,\ z''$ en $\mathrm {Z} '',\ldots$ et $u$ en $\mathrm {u.}$

S’il n’y a qu’une variable $x,$ on aura

${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial u}{\partial t}}\,;\quad$partant$\quad q_{n}={\frac {\partial ^{n-1}.\mathrm {Z} ^{n}{\frac {\partial u}{\partial t}}}{1.2.3\ldots n.\partial t^{n-1}}}$

S’il y a deux variables $x$ et $x',$ on aura

${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial u}{\partial t}}\,;$

en différentiant cette équation par rapport à $\alpha ',$ on aura

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha '}}={\frac {\partial z}{\partial \alpha '}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+z{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha '\partial t}}\,;$

or on a ${\frac {\partial u}{\partial \alpha '}}=z'{\frac {\partial u}{\partial t'}}\,;$ et, en changeant dans cette équation $u$ en $z,$ on a ${\frac {\partial z}{\partial \alpha '}}=z'{\frac {\partial z}{\partial t'}}\,;$ donc

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha '}}=z{\frac {\partial .z'{\frac {\partial u}{\partial t'}}}{\partial t}}+z'{\frac {\partial z}{\partial t'}}{\frac {\partial u}{\partial t}}.$

En supposant dans le second membre de cette équation $\alpha$ et $\alpha '$ nuls, et en y changeant $z$ en $\mathrm {Z} ^{n},\ z'$ en $\mathrm {Z} '^{n'},$ et $u$ en $\mathrm {u} ,$ on aura la valeur de ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial \alpha \partial \alpha '}}$ dans les mêmes suppositions, ce qui donne

$q_{ns,n'}={\frac {\partial ^{n+n'-2}\left(Z^{n}Z'^{n'}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t\partial t'}}+Z'^{n'}{\frac {\partial .Z^{n}}{\partial t'}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+Z^{n}{\frac {\partial .Z'^{n'}}{\partial t}}{\frac {\partial u}{\partial t'}}\right)}{1.2.3\ldots n.\partial t^{n-1}.1.2.3\ldots n'.\partial t'^{n'}}}$