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MÉCANIQUE CÉLESTE.

on aura, en égalant séparément à zéro les coefficients de $\delta x,\delta y,\delta z,$

$0=\sum m\left[d\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}\right)-\mathrm {P} dt\right],0=\sum m\left[d\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}\right)-\mathrm {Q} dt\right],$

$0=\sum m\left[d\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}\right)-\mathrm {R} dt\right].$

Ces trois équations sont analogues à celles du n° 20, d’où nous avons conclu la conservation du mouvement du centre de gravité, dans le cas de la nature, lorsque le système n’est assujetti à d’autres forces qu’à l’action et à l’attraction mutuelle des corps du système. Dans ce cas,$\sum m\mathrm {P} ,\sum m\mathrm {Q} ,\sum m\mathrm {R}$ sont nuls, et l’on a

$\mathrm {const.} =\sum m{\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}},\quad \mathrm {const.} =\sum m{\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}},$

$\mathrm {const.} =\sum m{\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}.$

$m{\tfrac {dx}{dt}}{\tfrac {\varphi (v)}{v}}$ est égal à $m\varphi \left(v\right){\tfrac {dx}{ds}},$ et cette dernière quantité est la force finie du corps décomposée parallèlement à l’axe des $x,$ la force d’un corps étant le produit de sa masse par la fonction de la vitesse qui exprime la force. Ainsi la somme des forces finies du système, décomposées parallèlement à un axe quelconque, est alors constante, quel que soit le rapport de la force à la vitesse ; et ce qui distingue l’état du mouvement de celui du repos est que, dans ce dernier état, cette même somme est nulle. Ces résultats sont communs à toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse ; mais ce n’est que dans la loi de la nature que le centre de gravité se meut d’un mouvement rectiligne et uniforme.

Supposons encore, dans l’équation (S),

${\begin{alignedat}{2}\delta x'&={\frac {y'\delta x}{y}}+\delta x'_{1},&\qquad \delta x''&={\frac {y''\delta x}{y}}+\delta x''_{1},\ldots ,\\\\\delta y&={\frac {-x\delta x}{y}}+\delta y_{1},&\delta y'&={\frac {-x'\delta x}{y}}+\delta y'_{1},\ldots ;\end{alignedat}}$

la variation $\delta x$ disparaîtra des variations des distances mutuelles $f,f',\ldots$ des corps du système, et des forces qui dépendent de ces quantités. Si le