76
MÉCANIQUE CÉLESTE.
on aura, en égalant séparément à zéro les coefficients de
![{\displaystyle 0=\sum m\left[d\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}\right)-\mathrm {P} dt\right],0=\sum m\left[d\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}\right)-\mathrm {Q} dt\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cb8e7ab51587eb6f73df1d33336d37b414c9ddc)
![{\displaystyle 0=\sum m\left[d\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}\right)-\mathrm {R} dt\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/541074e0465575a49d169e0da683f50a11bbcbd9)
Ces trois équations sont analogues à celles du n° 20, d’où nous avons conclu la conservation du mouvement du centre de gravité, dans le cas de la nature, lorsque le système n’est assujetti à d’autres forces qu’à l’action et à l’attraction mutuelle des corps du système. Dans ce cas,
sont nuls, et l’on a
![{\displaystyle \mathrm {const.} =\sum m{\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}},\quad \mathrm {const.} =\sum m{\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae09576b1a9b4720db8e83bc24930f74163e3aa)
![{\displaystyle \mathrm {const.} =\sum m{\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e626d3182718168a642700a0bbcba6e29be670)
est égal à
et cette dernière quantité est la force finie du corps décomposée parallèlement à l’axe des
la force d’un corps étant le produit de sa masse par la fonction de la vitesse qui exprime la force. Ainsi la somme des forces finies du système, décomposées parallèlement à un axe quelconque, est alors constante, quel que soit le rapport de la force à la vitesse ; et ce qui distingue l’état du mouvement de celui du repos est que, dans ce dernier état, cette même somme est nulle. Ces résultats sont communs à toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse ; mais ce n’est que dans la loi de la nature que le centre de gravité se meut d’un mouvement rectiligne et uniforme.
Supposons encore, dans l’équation (S),
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\delta x'&={\frac {y'\delta x}{y}}+\delta x'_{1},&\qquad \delta x''&={\frac {y''\delta x}{y}}+\delta x''_{1},\ldots ,\\\\\delta y&={\frac {-x\delta x}{y}}+\delta y_{1},&\delta y'&={\frac {-x'\delta x}{y}}+\delta y'_{1},\ldots ;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5847718de4dd1ad3940f44db29e06a9ddc604b31)
la variation
disparaîtra des variations des distances mutuelles
des corps du système, et des forces qui dépendent de ces quantités. Si le