étant alors la résultante de toutes les forces
…, elle est perpendiculaire à la surface.
Si l’on suppose que les variations arbitraires
appartiennent à la surface courbe sur laquelle le point est assujetti, on a, par la nature de la perpendiculaire à cette surface,
ce qui fait disparaître
de l’équation précédente : l’équation (
) a donc encore lieu dans ce cas, pourvu que l’on élimine l’une des trois variations
au moyen de l’équation à la surface ; mais alors l’équation (
), qui dans le cas général équivaut à trois équations, n’équivaut plus qu’à deux équations distinctes, que l’on obtient en égalant séparément à zéro les coefficients des deux différentielles restantes. Soit
l’équation de la surface ; les deux équations
et
auront lieu en même temps, ce qui exige que
soit égal à
étant fonction de
Pour la déterminer, nommons
les coordonnées de l’origine de
on aura
![{\displaystyle r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd05d6886bbb436cae09250b384c2c04beafe6fa)
d’où l’on tire
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {N} ^{2}\left[\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}\right]=1\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11033f4063864135297c0274dad684abe16d36c3)
en faisant donc
![{\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {R} }{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc58fb451bd974f7ba30abfd345023e2a101f5f0)
le terme
de l’équation (
) se changera dans
et cette équation deviendra
![{\displaystyle 0=\Sigma \mathrm {S} \delta s+\lambda \delta u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d39746f32c7d4020a7fc732bdb0e0ebc85bedf5d)
équation dans laquelle on doit égaler séparément à zéro les coefficients des variations
ce qui donne trois équations ; mais elles n’équivalent qu’à deux équations entre
à cause de l’indéterminée λ qu’elles renferment. On peut donc, au lieu d’éliminer de l’équation (
) une des variations
au moyen de l’équation différentielle à la surface, lui ajouter cette équation multipliée par une indéterminée ![{\displaystyle \lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00aebb041f4a569408e310294efcc29e0eded7dc)