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vitesse primitive de $m$ et de sa distance primitive à $\mathrm {M} \,;\ a$ est positif dans l’ellipse, il est infini dans la parabole, et négatif dans l’hyperbole ; ainsi l’orbite décrite par $m$ est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que ${\rm {V}}$ est moindre, égal ou plus grand que ${\rm {U}}{\sqrt {\frac {2}{r}}}.$ Il est remarquable que la direction du mouvement primitif n’influe point sur l’espèce de la section conique.

Pour déterminer l’excentricité de l’orbite, nous observerons que, si l’on nomme $\varepsilon$ l’angle que fait la direction du mouvement relatif de $m$ avec le rayon vecteur $r$, on a

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}={\rm {V^{2}\cos ^{2}\varepsilon .}}$

En substituant au lieu de ${\rm {V^{2}}}$ sa valeur $\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),$ on aura

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)\cos ^{2}\varepsilon \,;$

mais on a, par le n^o 19,

$2\mu r-{\frac {\mu r^{2}}{a}}-{\frac {r^{2}d^{2}r}{dt^{2}}}=\mu a\left(1-e^{2}\right)\,;$

on aura donc

$a\left(1-e^{2}\right)=r^{2}\sin ^{2}\varepsilon \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),$

ce qui fera connaître l’excentricité $ae$ de l’orbite.

L’équation aux sections coniques

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}}$

donne

$\cos v={\frac {a\left(1-e^{2}\right)-r}{er}}.$

On aura ainsi l’angle $v$ que le rayon vecteur $r$ fait avec la distance périhélie, et par conséquent on aura la position du périhélie. Les équa-