![{\displaystyle \delta v={\frac {m'}{2}}\Sigma \left\{{\frac {n^{2}}{i(n-n')^{2}}}a{\rm {A}}^{(i)}+2n^{3}{\frac {a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a{\rm {A}}^{(i)}}{i(n-n')\left[i^{2}(n-n')^{2}-n^{2}\right]}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c37a3735eba025092825878eb656d39c42461343)
![{\displaystyle \times \sin i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fbdbcb3b13ab82f4b38119be43276d63be5b585)
![{\displaystyle +m'(h{\rm {C}}+h'{\rm {D}})nt\sin(nt+\varepsilon )+m'(l{\rm {C}}+l'{\rm {rDC}})nt\cos(nt+\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d679aad14945d26cd3a76495a2af8428a795de)
![{\displaystyle +nm'\Sigma \left\{{\begin{aligned}&{\frac {l{\rm {F}}^{(i)}+l'{\rm {G}}^{(i)}}{n-i(n-n')}}\\&\qquad \qquad \times \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\\+&{\frac {h{\rm {F}}^{(i)}+h'{\rm {G}}^{(i)}}{n-i(n-n')}}\\&\qquad \qquad \times \cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right]\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45268fb66f91113d1bfb0da9de07bd813f7a1a82)
En réunissant ces expressions de
et de
aux valeurs de
et de
relatives au mouvement elliptique, on aura les valeurs entières du rayon vecteur de
et de son mouvement en longitude.
51. Considérons présentement le mouvement de
en latitude. Pour cela, reprenons la formule (Z’) du no 47. Si l’on néglige le produit des inclinaisons par les excentricités des orbites, elle devient
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}\delta u'}{dt^{2}}}+n^{2}\delta u'-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a6738b4560cada41aeffad574ce66b699b9392)
l’expression de
du no 48 donne, en prenant pour plan fixe celui de l’orbite primitive de ![{\displaystyle m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad66d19bb37bc69223cb004be2ea5dd95f9564c)
![{\displaystyle {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}={\frac {m'z'}{a'^{2}}}-{\frac {m'z'}{2}}\Sigma {\rm {B}}^{(i)}\cos i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dadbcea33328fb55e361335e37ef8178474a0a8f)
la valeur de
s’étendant à tous les nombres entiers positifs et négatifs, en y comprenant même
Soient
la tangente de l’inclinaison de l’orbite de
sur l’orbite primitive de
et
la longitude du nœud ascendant de la première de ces orbites sur la seconde ; on aura, à très-peu près,
![{\displaystyle z'=a'\gamma \sin(n't+\varepsilon '-\Pi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8e3a8ba20dd9d8a09dbab11e6c3456b3ad3f390)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}={\frac {m'}{a'^{2}}}\gamma \sin(n't+\varepsilon '-\Pi )-{\frac {m'}{2}}a'{\rm {B}}^{(1)}\gamma \sin(nt+\varepsilon -\Pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0680624b7ec87b3053dc5c2b625bb86e71a42c)
![{\displaystyle -{\frac {m'}{2}}a'\Sigma {\rm {B}}^{(i-1)}\gamma \sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon -\Pi \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372febe7ccf76a7791d6a515e93d39ed0eec9fe6)