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hélie ; soit ${\rm {U}}$ cette anomalie, et $\mathrm {U} +x$ l’anomalie vraie dans l’ellipse, correspondante au même temps, $x$ étant un très-petit angle. Si l’on substitue dans l’équation précédente $\mathrm {U} +x$ au lieu de $v,$ et que l’on réduise le second membre en série ordonnée par rapport aux puissances de $x,$ on aura, en négligeant le carré de $x$ et le produit de $x$ par $1-e,$

$t={\frac {\mathrm {D} ^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\mu }}}\left[\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} +{\frac {x}{2\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} }}\right.$

$\left.+{\frac {1-e}{4}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} \left(1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} -{\frac {1}{5}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} \right)\right]\,;$

mais on a, par la supposition,

$t={\frac {\mathrm {D} ^{\frac {3}{2}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\mu }}}\left(\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} +{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} \right)\,;$

on aura donc, en substituant au lieu du petit arc $x$ son sinus,

$\sin x={\frac {1}{10}}(1-e)\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} \left(4-3\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} -6\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} \right).$

Ainsi, en formant une Table des logarithmes de la quantité

${\frac {1}{10}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {U} \left(4-3\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} -6\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\mathrm {U} \right),$

il suffira de leur ajouter le logarithme de $1-e$ pour avoir celui de $\sin x$ ; on aura par conséquent la correction à faire à l’anomalie $\mathrm {U} ,$ calculée dans la parabole, pour avoir l’anomalie correspondante dans une ellipse fort excentrique.

24. Il nous reste à considérer le mouvement dans une orbite hyperbolique. Pour cela, nous observerons que, dans l’hyperbole, le demi-grand axe $a$ devient négatif, et l’excentricité $e$ surpasse l’unité. En faisant donc, dans les équations (f) du n^o 20, $a=-a'$ et $u={\frac {u'}{\sqrt {-1}}},$ et en substituant au lieu des sinus et des cosinus leurs valeurs en exponentielles imaginaires, la première de ces équations donnera

${\frac {t{\sqrt {\mu }}}{a'^{\frac {3}{2}}}}={\frac {e}{2}}\left(c^{u'}-c^{-u'}\right)-u'.$